97 lines
3.3 KiB
Typst
97 lines
3.3 KiB
Typst
#import "@local/dtu-template:0.5.1":*
|
|
|
|
|
|
#show: dtu-math-assignment.with(
|
|
course: "01001",
|
|
course-name: "Mathematics 1a (Polytechnical Foundation)",
|
|
title: "Matrixalgebra og determinanter",
|
|
author: "Rasmus Rosendahl-Kaa (S255955)",
|
|
semester: "2025 Fall",
|
|
)
|
|
|
|
#set math.vec(delim: "[")
|
|
#set math.mat(delim: "[")
|
|
#set text(lang: "da")
|
|
|
|
|
|
= Matrix
|
|
$underline(underline(A))$ - en matrix\
|
|
$underline(v)$ - en vektor
|
|
|
|
Har en matrix:
|
|
$
|
|
underline(underline(A)) = mat(a_11,a_12,dots,a_(1n);dots.v,,,dots.v;a_(m 1),a_(m 2),dots,a_(m n)) space in FF ^(m times n)
|
|
$
|
|
|
|
*Søjlevektor:*\
|
|
$ mat(a_11;dots.v;a_(m 1)) in FF^(m times 1) = FF^(m) $
|
|
*Rækkevektor:*\
|
|
$ mat(a_11,a_12,dots,a_(1 n)) in FF^(1 times n) $
|
|
|
|
#definition(title: "Addition af vektorer")[
|
|
To vektorer $underline(a) "og" underline(b)$: $underline(a)=mat(a_1;dots.v;a_m), underline(b)=mat(b_1;dots.v;b_m)$
|
|
|
|
$ underline(a)+underline(b)=mat(a_1+b_1;dots.v;a_m+b_m) $
|
|
]
|
|
|
|
#definition(title: "Skalar af vektor")[
|
|
Har en vektor $underline(a)$: $underline(a)=mat(a_1;dots.v;a_m)$ og en skalar $c in FF$:
|
|
|
|
$ c dot underline(a) = mat(a_1 dot c;dots.v;a_m dot c) $
|
|
]
|
|
|
|
#definition(title: "Lineær kombination af vektor")[
|
|
$underline(v_1),underline(v_2),dots,underline(v_n) in FF^m "og" c_1,c_2,dots,c_n in FF$
|
|
$ c_1 dot underline(v_1) + c_2 dot underline(v_2) + dots + c_n dot underline(v_n) $
|
|
Hedder en lineær kombination
|
|
]
|
|
|
|
= Lineær uafhængighed
|
|
#definition(title: "7.1.1: Lineær uafhængighed")[
|
|
Et sæt vektorer $(underline(v_1),underline(v_2),dots,underline(v_n))$ kaldes lineær uafhængige hvis og kun hvis ligningen:
|
|
$ c_1 dot underline(v_1) + c_2 dot underline(v_2) + dots + c_n dot underline(v_n) $
|
|
kun har én løsning: $c_1=c_2=dots=c_n=0$
|
|
|
|
Mere generelt kan man også sige, at $[underline(v_1),dots,underline(v_n)]$ skal have rang $n$ (aka, antallet af pivot-elementer i matricen opbygget af v-vektorerne skal være lig med mængden af vektorer).
|
|
|
|
*Finde uf af om et sæt vektorer er lineært uafhængige:*
|
|
|
|
For at finde ud af, om et sæt er lineært uafhængigt, skal man lave lave en matrix opbygget af vektorerne. Hvis man kan finde den på reduceret trappetform, er sættet lineært uafhængigt.
|
|
]
|
|
|
|
= Matrixalgebra
|
|
== Regneregler for matricer
|
|
Betragt følgende matricer:
|
|
$
|
|
underline(underline(A))&=mat(a_11,dots,a_(1n);dots.v,,dots.v;a_(m 1),dots,a_(m n))\
|
|
underline(underline(B))&=mat(b_11,dots,b_(1n);dots.v,,dots.v;b_(m 1),dots,b_(m n))
|
|
$
|
|
|
|
*Addition:*
|
|
$
|
|
underline(underline(A)) + underline(underline(B)) = mat(a_11+b_11,dots,a_(1n)+b_(1n);dots.v,,dots.v;a_(m 1)+b_(m 1),dots,a_(m n)+b_(m n))
|
|
$
|
|
|
|
*Skalarmultiplikation:*
|
|
$
|
|
c dot underline(underline(A)) = mat(c dot a_11,dots,c dot a_(1n);dots.v,,dots.v;c dot a_(m 1),dots,c dot a_(m n))
|
|
$
|
|
|
|
*Transponerede matrix:*\
|
|
Bytter om på rækker og søjler
|
|
$
|
|
underline(underline(A))^T=mat(a_11,dots,a_(m 1);dots.v,,dots.v;a_(1n),dots,a_(m n))
|
|
$
|
|
|
|
*Gange matrix med vektor:*
|
|
#definition(title: "7.2.1: Gange matricer og vektorer")[
|
|
$underline(underline(A))in FF^(m times n), space space underline(V)=mat(v_1;dots.v;v_n) in FF^n$
|
|
Bemærk at $underline(V)$ skal have lige så mange koordinater som der er søjler i $underline(underline(A))$. Resultatet bliver en vektor.
|
|
$
|
|
underline(underline(A)) dot underline(V) &= v_1 dot mat(a_11;dots.v;a_(n 1))+dots+v_n dot mat(a_(1 n);dots.v;a_(m n))\
|
|
&=mat(a_11 dot v_1 + dots + a_(n 1) dot v_n;dots.v;a_(1 n) dot v_1 + dots + a_(m n) dot v_n)
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
*Gange matricer sammen:*
|