Ekstra noter og start på mat gennemgang

01001 - Matematik 1a/Mat1a gennemgang/Mat1a gennemgang.typ

@@ -0,0 +1,217 @@
+#import "@local/dtu-template:0.5.1":*
+
+#show: dtu-math-assignment.with(
+  course: "01001",
+  course-name: "Mathematics 1a (Polytechnical Foundation)",
+  title: "Mat1a gennemgang",
+  due-date: datetime(day: 30, month: 11, year: 2025),
+  author: "Rasmus Rosendahl-Kaa (S255955)",
+  semester: "2025 Fall",
+)
+
+#set math.mat(delim: "[")
+#set math.vec(delim: "[")
+
+= Udsagnslogik
+#important()[Til eksamen: husk sandhedstabeller]
+
+#table(columns: 7)[$P$][$Q$][$P and Q$][$P or Q$][$not P$][$P => Q$][$P arrow.l.r.double Q$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$T$]
+
+Ved $P=>Q$ så hvis $P$ er falsk, så vil $P=>Q$ altid være sand. Hvis $P$ er sand, skal $Q$ også være sand.
+
+#example()[
+$(P  or Q or R) => Q$\
+Opskriv sandhedstabel
+#table(columns: 5)[$P$][$Q$][$R$][$P or Q or R$][$(P or Q or R) => Q$][$T$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$F$][$F$][$T$]
+]
+
+$(P or Q) or R <=> P or (Q or R)$
+
+= Mængder
+Samling af elementer.
+
+Kan være f.eks.:
+$
+{1,2,3,dots}\
+{a in RR|P(a) "er sandt"}
+$
+
+Man kan tegne mængderne grafisk.
+
+*Fællesmængder:*\
+$A inter B$\
+Hvad der er i både $A$ #underline[og] $B$
+$ A inter B = {a | a in A and a in B} $
+
+*Foreningsmængde:*\
+$A union B$\
+Hvad der er i enten $A$ #underline[eller] $B$
+$ A union B = {a | a in A or a in B} $
+
+*Differens:*\
+$A slash B$\
+Hvad der er i $A$ #underline[men ikke] $B$
+$ A slash B = {a|a in A and a in.not B} $
+
+#example()[
+Tre mængder $A,B,C$.
+
+Find følgende: $(A union B) inter C$
+
+Hvad der er i $A$ eller $B$, og den del af det, som også er i $C$.
+
+For opgaven:
+$
+A = {0,1,2}\ B={1,2,3}\ C={3,4,5}
+$
+$
+A inter B = "hvad der er i" A "eller" B "så tal fra 0-3"\
+(A inter B) union C = "Hvad der er i både tal fra 0-3 og i" 3,4,5 "så 3"\
+(A inter B) union C) = {3}
+$
+]
+= Funktioner
+Hvad er en funktion? Kan kaldes en matematisk process, som tager et element fra en mængde, og afbilder over på et element i en anden mængde.
+
+#image("funktion.png", width: 50%)
+
+$ f: A &arrow B\ a &|-> f(a) $
+
+*Værdimængden:*\
+$V m(f), f(A)$\
+Værdimængden er alle værdier $f(a)$ kan blive (alle elementer, der bliver ramt i dispositionsmængden)\
+$V m(f) subset.eq B$
+
+#example()[
+$
+f: RR &arrow RR\
+x &|-> x^2
+$
+#image("funktion-eksempel.png",width: 50%)
+]
+
+
+== Inkektive, surjektive og bijektive funktioner
+#image("injektiv-surjektiv-bijektiv.png",width: 50%)
+=== Injektiv
+Alle elementer i dispositionsmængden må kun rammes én gang. Dispositionsmængden her kan være større en værdimængden
+=== Surjektiv
+Alle elementer i dispositionsmængden #underline[skal] rammes. Elementerne i dispositionsmængden må gerne rammes flere gange.
+=== Bijektiv
+En funktion, der både er injektiv og surjektiv. Dvs. alle elementer i definitionsmængden skal pege på ét element i dispositionsmængden, og ét unikt element.
+
+Notér her at hvis man tager den inverse funktion (hvor man vender pilen om), vil den inverse funktion stadig være bijektiv. Det gælder kun for bijektive funktioner, og ikke de andre.
+
+=== Inverse funktion
+$
+f: A &arrow B\
+a &|-> f(a)\
+
+f^(-1) slash g: B &arrow A\
+f(a) &|-> a
+$
+$
+f compose f^(-1) &= f(f^(-1)(x)) = f(g(x)) = id_B\
+f^(-1) compose f &= f^(-1)(f(x)) = g(f(x)) = id_A
+$
+
+#lemma(name: "2.2.2")[
+En funktion har en invers hvis og kun hvis den er bijektiv
+
+For inverse funktioner gælder ($f(x)$ er funktion, $g(x)$ er dens inverse):
+$
+f(g(x))&=id_(RR)\
+g(f(x))&=id_(RR)
+$
+]
+
+#example()[
+$
+f: RR &arrow RR\
+x &|->3x-7
+$
+Find en invers funktion $f^(-1)$
+#solution()[
+Opstil funktion: $f(x)=3x-7$
+
+Byt om på $x$ og $y$ ($f(x)$)
+$
+f(x)&=3x-7\
+x&=3y-7 <=>\
+y&=(x+7)/3=g(x)
+$
+$
+f(g(x))=x((x+7)/3)-7=x\
+g(f(x))=((3x-7)+7)/3=x
+
+$
+]
+]
+
+
+#example()[
+$ f: RR &arrow RR\
+x &|-> x^2
+$
+#solution()[
+Er ikke injektiv da f.eks. $f(-1)$ og $f(1)$ giver det samme\
+Er heller ikke surjektiv da der ikke fås nogle negative værdier.
+]
+Hvad med
+$
+g: RR_(>=0) &arrow RR\
+x &|-> x^2
+$
+#solution()[
+Er Injektiv, da x kun må være positiv, og der er ikke 2 positive x-værdier, hvis $x^2$ giver det samme
+]
+
+Hvad med
+
+$ h: RR &arrow RR_(>=0)\
+x &|-> x^2
+$
+#solution()[
+Er surjektiv, da alle positive tal bliver ramt, og du i dispositionsmængden ikke længere har de negative. Er ikke injektiv da du stadig har at $f(-1)=f(1)=1$
+]
+
+Hvad med
+$ k: RR_(>=0) &arrow RR_(>=0)\
+x &|-> x^2
+$
+#solution()[
+Er bijektiv, på grund af det samme som de to sidste to eksempler sat sammen.
+
+Derfor findes $k^(-1)$
+$
+k^(-1): RR_(>=0) &arrow RR_(>=0)\
+x &|-> sqrt(x)
+$
+]
+]
+
+#note-box()[
+For $sqrt(x)$ definerer vi kun svaret som det positive.
+
+Men for $x^2=4$ defineres $plus.minus 2$ som svaret.
+]
+
+== Identitetsfunktionen
+$
+id: A &arrow A\
+x &|-> x
+$
+Funktionen, der basically ikke gør noget.
+
+== Sammensatte funktioner
+$
+f:A arrow B "      " g: B arrow C
+$
+
+$ f compose g: A arrow C\
+f compose g = f(g(x))
+$
+
+= Komplekse tal
+= Polynomier
+= Matricer

01001 - Matematik 1a/Noter/Matrixalgebra og determinanter/Matrixalgebra og determinanter.typ

@@ -48,7 +48,49 @@ Hedder en lineær kombination
 
 = Lineær uafhængighed
 #definition(title: "7.1.1: Lineær uafhængighed")[
-Et sæt vektorer $(underline(v_1),underline(v_2),dots,underline(v_n)$ kaldes lineær uafhængige hvis og kun hvis ligningen:
+Et sæt vektorer $(underline(v_1),underline(v_2),dots,underline(v_n))$ kaldes lineær uafhængige hvis og kun hvis ligningen:
 $ c_1 dot underline(v_1) + c_2 dot underline(v_2) + dots + c_n dot underline(v_n) $
 kun har én løsning: $c_1=c_2=dots=c_n=0$
+
+Mere generelt kan man også sige, at $[underline(v_1),dots,underline(v_n)]$ skal have rang $n$ (aka, antallet af pivot-elementer i matricen opbygget af v-vektorerne skal være lig med mængden af vektorer).
+
+*Finde uf af om et sæt vektorer er lineært uafhængige:*
+
+For at finde ud af, om et sæt er lineært uafhængigt, skal man lave lave en matrix opbygget af vektorerne. Hvis man kan finde den på reduceret trappetform, er sættet lineært uafhængigt.
 ]
+
+= Matrixalgebra
+== Regneregler for matricer
+Betragt følgende matricer:
+$
+underline(underline(A))&=mat(a_11,dots,a_(1n);dots.v,,dots.v;a_(m 1),dots,a_(m n))\
+underline(underline(B))&=mat(b_11,dots,b_(1n);dots.v,,dots.v;b_(m 1),dots,b_(m n))
+$
+
+*Addition:*
+$
+underline(underline(A)) + underline(underline(B)) = mat(a_11+b_11,dots,a_(1n)+b_(1n);dots.v,,dots.v;a_(m 1)+b_(m 1),dots,a_(m n)+b_(m n))
+$
+
+*Skalarmultiplikation:*
+$
+c dot underline(underline(A)) = mat(c dot a_11,dots,c dot a_(1n);dots.v,,dots.v;c dot a_(m 1),dots,c dot a_(m n))
+$
+
+*Transponerede matrix:*\
+Bytter om på rækker og søjler
+$
+underline(underline(A))^T=mat(a_11,dots,a_(m 1);dots.v,,dots.v;a_(1n),dots,a_(m n))
+$
+
+*Gange matrix med vektor:*
+#definition(title: "7.2.1: Gange matricer og vektorer")[
+$underline(underline(A))in FF^(m times n), space space underline(V)=mat(v_1;dots.v;v_n) in FF^n$
+Bemærk at $underline(V)$ skal have lige så mange koordinater som der er søjler i $underline(underline(A))$. Resultatet bliver en vektor.
+$
+underline(underline(A)) dot underline(V) &= v_1 dot mat(a_11;dots.v;a_(n 1))+dots+v_n dot mat(a_(1 n);dots.v;a_(m n))\
+&=mat(a_11 dot v_1 + dots + a_(n 1) dot v_n;dots.v;a_(1 n) dot v_1 + dots + a_(m n) dot v_n)
+$
+]
+
+*Gange matricer sammen:*