Ekstra noter og start på mat gennemgang

01001 - Matematik 1a/Noter/Matrixalgebra og determinanter/Matrixalgebra og determinanter.typ

@@ -48,7 +48,49 @@ Hedder en lineær kombination
 
 = Lineær uafhængighed
 #definition(title: "7.1.1: Lineær uafhængighed")[
-Et sæt vektorer $(underline(v_1),underline(v_2),dots,underline(v_n)$ kaldes lineær uafhængige hvis og kun hvis ligningen:
+Et sæt vektorer $(underline(v_1),underline(v_2),dots,underline(v_n))$ kaldes lineær uafhængige hvis og kun hvis ligningen:
 $ c_1 dot underline(v_1) + c_2 dot underline(v_2) + dots + c_n dot underline(v_n) $
 kun har én løsning: $c_1=c_2=dots=c_n=0$
+
+Mere generelt kan man også sige, at $[underline(v_1),dots,underline(v_n)]$ skal have rang $n$ (aka, antallet af pivot-elementer i matricen opbygget af v-vektorerne skal være lig med mængden af vektorer).
+
+*Finde uf af om et sæt vektorer er lineært uafhængige:*
+
+For at finde ud af, om et sæt er lineært uafhængigt, skal man lave lave en matrix opbygget af vektorerne. Hvis man kan finde den på reduceret trappetform, er sættet lineært uafhængigt.
 ]
+
+= Matrixalgebra
+== Regneregler for matricer
+Betragt følgende matricer:
+$
+underline(underline(A))&=mat(a_11,dots,a_(1n);dots.v,,dots.v;a_(m 1),dots,a_(m n))\
+underline(underline(B))&=mat(b_11,dots,b_(1n);dots.v,,dots.v;b_(m 1),dots,b_(m n))
+$
+
+*Addition:*
+$
+underline(underline(A)) + underline(underline(B)) = mat(a_11+b_11,dots,a_(1n)+b_(1n);dots.v,,dots.v;a_(m 1)+b_(m 1),dots,a_(m n)+b_(m n))
+$
+
+*Skalarmultiplikation:*
+$
+c dot underline(underline(A)) = mat(c dot a_11,dots,c dot a_(1n);dots.v,,dots.v;c dot a_(m 1),dots,c dot a_(m n))
+$
+
+*Transponerede matrix:*\
+Bytter om på rækker og søjler
+$
+underline(underline(A))^T=mat(a_11,dots,a_(m 1);dots.v,,dots.v;a_(1n),dots,a_(m n))
+$
+
+*Gange matrix med vektor:*
+#definition(title: "7.2.1: Gange matricer og vektorer")[
+$underline(underline(A))in FF^(m times n), space space underline(V)=mat(v_1;dots.v;v_n) in FF^n$
+Bemærk at $underline(V)$ skal have lige så mange koordinater som der er søjler i $underline(underline(A))$. Resultatet bliver en vektor.
+$
+underline(underline(A)) dot underline(V) &= v_1 dot mat(a_11;dots.v;a_(n 1))+dots+v_n dot mat(a_(1 n);dots.v;a_(m n))\
+&=mat(a_11 dot v_1 + dots + a_(n 1) dot v_n;dots.v;a_(1 n) dot v_1 + dots + a_(m n) dot v_n)
+$
+]
+
+*Gange matricer sammen:*