1208 lines
38 KiB
Typst
1208 lines
38 KiB
Typst
#import "@local/dtu-template:0.5.1":*
|
|
#import "@preview/cetz-venn:0.1.4"
|
|
#import "@preview/cetz:0.4.2"
|
|
#import "@preview/cetz-plot:0.1.3": plot, chart
|
|
|
|
#show: dtu-note.with(
|
|
title: "Mat1a gennemgang ",
|
|
date: datetime(year: 2025, month: 11, day: 30),
|
|
author: "Rasmus Rosendahl-kaa",
|
|
semester: "Spring 2025"
|
|
)
|
|
|
|
#set math.mat(delim: "[")
|
|
#set math.vec(delim: "[")
|
|
|
|
= Udsagnslogik
|
|
#important()[Til eksamen: husk sandhedstabeller]
|
|
|
|
#table(columns: 7)[$P$][$Q$][$P and Q$][$P or Q$][$not P$][$P => Q$][$P arrow.l.r.double Q$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$T$]
|
|
|
|
Ved $P=>Q$ så hvis $P$ er falsk, så vil $P=>Q$ altid være sand. Hvis $P$ er sand, skal $Q$ også være sand.
|
|
|
|
#example()[
|
|
$(P or Q or R) => Q$\
|
|
Opskriv sandhedstabel
|
|
#table(columns: 5)[$P$][$Q$][$R$][$P or Q or R$][$(P or Q or R) => Q$][$T$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$F$][$F$][$T$]
|
|
]
|
|
|
|
$(P or Q) or R <=> P or (Q or R)$
|
|
|
|
= Mængder
|
|
Samling af elementer.
|
|
|
|
Kan være f.eks.:
|
|
$
|
|
{1,2,3,dots}\
|
|
{a in RR|P(a) "er sandt"}
|
|
$
|
|
|
|
Man kan tegne mængderne grafisk.
|
|
|
|
*Fællesmængder:*\
|
|
$A inter B$\
|
|
Hvad der er i både $A$ #underline[og] $B$
|
|
$ A inter B = {a | a in A and a in B} $
|
|
|
|
*Foreningsmængde:*\
|
|
$A union B$\
|
|
Hvad der er i enten $A$ #underline[eller] $B$
|
|
$ A union B = {a | a in A or a in B} $
|
|
|
|
*Differens:*\
|
|
$A slash B$\
|
|
Hvad der er i $A$ #underline[men ikke] $B$
|
|
$ A slash B = {a|a in A and a in.not B} $
|
|
|
|
#example()[
|
|
Tre mængder $A,B,C$.
|
|
|
|
Find følgende: $(A union B) inter C$
|
|
|
|
Hvad der er i $A$ eller $B$, og den del af det, som også er i $C$.
|
|
|
|
For opgaven:
|
|
$
|
|
A = {0,1,2}\ B={1,2,3}\ C={3,4,5}
|
|
$
|
|
$
|
|
A inter B = "hvad der er i" A "eller" B "så tal fra 0-3"\
|
|
(A inter B) union C = "Hvad der er i både tal fra 0-3 og i" 3,4,5 "så 3"\
|
|
(A inter B) union C) = {3}
|
|
$
|
|
]
|
|
= Funktioner
|
|
Hvad er en funktion? Kan kaldes en matematisk process, som tager et element fra en mængde, og afbilder over på et element i en anden mængde.
|
|
|
|
#image("funktion.png", width: 50%)
|
|
|
|
$ f: A &arrow B\ a &|-> f(a) $
|
|
|
|
*Værdimængden:*\
|
|
$V m(f), f(A)$\
|
|
Værdimængden er alle værdier $f(a)$ kan blive (alle elementer, der bliver ramt i dispositionsmængden)\
|
|
$V m(f) subset.eq B$
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
f: RR &arrow RR\
|
|
x &|-> x^2
|
|
$
|
|
#image("funktion-eksempel.png",width: 50%)
|
|
]
|
|
|
|
|
|
== Inkektive, surjektive og bijektive funktioner
|
|
#image("injektiv-surjektiv-bijektiv.png",width: 50%)
|
|
=== Injektiv
|
|
Alle elementer i dispositionsmængden må kun rammes én gang. Dispositionsmængden her kan være større en værdimængden
|
|
=== Surjektiv
|
|
Alle elementer i dispositionsmængden #underline[skal] rammes. Elementerne i dispositionsmængden må gerne rammes flere gange.
|
|
=== Bijektiv
|
|
En funktion, der både er injektiv og surjektiv. Dvs. alle elementer i definitionsmængden skal pege på ét element i dispositionsmængden, og ét unikt element.
|
|
|
|
Notér her at hvis man tager den inverse funktion (hvor man vender pilen om), vil den inverse funktion stadig være bijektiv. Det gælder kun for bijektive funktioner, og ikke de andre.
|
|
|
|
=== Inverse funktion
|
|
$
|
|
f: A &arrow B\
|
|
a &|-> f(a)\
|
|
|
|
f^(-1) slash g: B &arrow A\
|
|
f(a) &|-> a
|
|
$
|
|
$
|
|
f compose f^(-1) &= f(f^(-1)(x)) = f(g(x)) = id_B\
|
|
f^(-1) compose f &= f^(-1)(f(x)) = g(f(x)) = id_A
|
|
$
|
|
|
|
#lemma(name: "2.2.2")[
|
|
En funktion har en invers hvis og kun hvis den er bijektiv
|
|
|
|
For inverse funktioner gælder ($f(x)$ er funktion, $g(x)$ er dens inverse):
|
|
$
|
|
f(g(x))&=id_(RR)\
|
|
g(f(x))&=id_(RR)
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
f: RR &arrow RR\
|
|
x &|->3x-7
|
|
$
|
|
Find en invers funktion $f^(-1)$
|
|
#solution()[
|
|
Opstil funktion: $f(x)=3x-7$
|
|
|
|
Byt om på $x$ og $y$ ($f(x)$)
|
|
$
|
|
f(x)&=3x-7\
|
|
x&=3y-7 <=>\
|
|
y&=(x+7)/3=g(x)
|
|
$
|
|
$
|
|
f(g(x))=x((x+7)/3)-7=x\
|
|
g(f(x))=((3x-7)+7)/3=x
|
|
|
|
$
|
|
]
|
|
]
|
|
|
|
|
|
#example()[
|
|
$ f: RR &arrow RR\
|
|
x &|-> x^2
|
|
$
|
|
#solution()[
|
|
Er ikke injektiv da f.eks. $f(-1)$ og $f(1)$ giver det samme\
|
|
Er heller ikke surjektiv da der ikke fås nogle negative værdier.
|
|
]
|
|
Hvad med
|
|
$
|
|
g: RR_(>=0) &arrow RR\
|
|
x &|-> x^2
|
|
$
|
|
#solution()[
|
|
Er Injektiv, da x kun må være positiv, og der er ikke 2 positive x-værdier, hvis $x^2$ giver det samme
|
|
]
|
|
|
|
Hvad med
|
|
|
|
$ h: RR &arrow RR_(>=0)\
|
|
x &|-> x^2
|
|
$
|
|
#solution()[
|
|
Er surjektiv, da alle positive tal bliver ramt, og du i dispositionsmængden ikke længere har de negative. Er ikke injektiv da du stadig har at $f(-1)=f(1)=1$
|
|
]
|
|
|
|
Hvad med
|
|
$ k: RR_(>=0) &arrow RR_(>=0)\
|
|
x &|-> x^2
|
|
$
|
|
#solution()[
|
|
Er bijektiv, på grund af det samme som de to sidste to eksempler sat sammen.
|
|
|
|
Derfor findes $k^(-1)$
|
|
$
|
|
k^(-1): RR_(>=0) &arrow RR_(>=0)\
|
|
x &|-> sqrt(x)
|
|
$
|
|
]
|
|
]
|
|
|
|
#note-box()[
|
|
For $sqrt(x)$ definerer vi kun svaret som det positive.
|
|
|
|
Men for $x^2=4$ defineres $plus.minus 2$ som svaret.
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
f(x)=e^(2x)\
|
|
x=e^(2y)\
|
|
ln(x)=ln(e^(2y))\
|
|
ln(x)=2y\
|
|
y=ln(x)/2
|
|
$
|
|
#note-box()[
|
|
For inverse funktioner, skal man huske at sørge for, at $f compose f^(-1)$ skal give $id_A$ og $f^(-1) compose f = id_B$
|
|
]
|
|
]
|
|
== Identitetsfunktionen
|
|
$
|
|
id: A &arrow A\
|
|
x &|-> x
|
|
$
|
|
Funktionen, der basically ikke gør noget.
|
|
|
|
== Sammensatte funktioner
|
|
$
|
|
f:A arrow B " " g: B arrow C
|
|
$
|
|
|
|
$ f compose g: A arrow C\
|
|
f compose g = f(g(x))
|
|
$
|
|
|
|
= Komplekse tal $CC$
|
|
Er en mængde af tal, hvor vi tillader et tal $i$, som er løsningen til ligningen $i^2=-1$
|
|
|
|
Det gør, at man kan tage kvadratroden af negative tal. $i=sqrt(-1)$
|
|
|
|
Bruger normalt $Z$ til at beksrive dem.
|
|
|
|
*Rektangulær form:*\
|
|
$Z=a+i b$
|
|
|
|
Regulære del: $R e(Z)=a$\
|
|
Imaginære del: $I m(Z)=b$
|
|
|
|
*Polær form:*\
|
|
$Z=|Z| dot e^(i dot arg(Z))$
|
|
|
|
Kan betragte dem som funktioner:\
|
|
$ Z_1 = (a_1 + i b_1), Z_2 = (a_2 + i b_2) $
|
|
hvor man kan lægge dem sammen:\
|
|
$ Z_1+Z_2 = a_1 + a_2 + i (b_1 + b_2) $
|
|
|
|
Gange dem sammen:\
|
|
$ Z_1 dot Z_2 &= (a_1 + i b_1) (a_2 + i b_2)=a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i b_1 a_2 + i^2 b_1 b_2\ &= a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i b_1 a_2 - b_1 b_2 $
|
|
|
|
|
|
Gange sammen på polære form:\
|
|
$
|
|
Z_3 = |Z_3| e^(i arg(Z_3)), Z_4 = |Z_4| e^(i arg(Z_4))\
|
|
Z_3 dot Z_4 = |Z_3||Z_4| e^(i (arg(Z_3) + arg(Z_4)))
|
|
$
|
|
|
|
#definition(title: "Eulers formel")[
|
|
$
|
|
e^(i v) = cos(v) + i sin(v)\
|
|
|Z| e^(i arg(Z)) = |Z| cos(arg(Z)) + i |Z| sin(arg(Z))
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
#definition(title: "4.3.1: Fra rektangulær til Polær")[
|
|
Længden/Absolutværdien af et komplekst tal er:\
|
|
$ |Z| = sqrt(a^2 + b^2)=sqrt(R e(Z)^2 + I m(Z)^2) $
|
|
Bruger pythagoras.
|
|
|
|
Argumentet:
|
|
$
|
|
A r g(Z)=cases(
|
|
arctan(b/a) &"for" a>=0,
|
|
pi/2 &"for" a=0 and b > 0,
|
|
arctan(b/a)+pi &"for" a<0 and b>=0,
|
|
- pi/2 &"for" a=0 and b < 0,
|
|
arctan(b/a) - pi &"for" a <0 and b < 0
|
|
)
|
|
$
|
|
Argument ($a r g(Z)$) er hovedargumentet (vinklen fra $0-2 pi$) plus $2 pi$ gange noget.
|
|
|
|
]
|
|
#align(
|
|
center,
|
|
)[
|
|
#figure(
|
|
caption: [Den Komplette Enhedscirkel - Trigonometri, Komplekse Tal og Koordinater],
|
|
)[
|
|
#cetz.canvas(
|
|
{
|
|
import cetz.draw: *
|
|
|
|
let r = 4.0 // Større radius for bedre læsbarhed
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// BAGGRUND: Kvadrant-farver (CAST-reglen)
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// Kvadrant I (0° til 90°): ALLE positive - lysegrøn
|
|
arc(
|
|
(0, 0),
|
|
start: 0deg,
|
|
stop: 90deg,
|
|
radius: r,
|
|
mode: "PIE",
|
|
fill: rgb(200, 255, 200, 40),
|
|
stroke: none,
|
|
anchor: "origin",
|
|
)
|
|
// Kvadrant II (90° til 180°): SIN positiv - lyseblå
|
|
arc(
|
|
(0, 0),
|
|
start: 90deg,
|
|
stop: 180deg,
|
|
radius: r,
|
|
mode: "PIE",
|
|
fill: rgb(200, 200, 255, 40),
|
|
stroke: none,
|
|
anchor: "origin",
|
|
)
|
|
// Kvadrant III (180° til 270°): TAN positiv - lyserød
|
|
arc(
|
|
(0, 0),
|
|
start: 180deg,
|
|
stop: 270deg,
|
|
radius: r,
|
|
mode: "PIE",
|
|
fill: rgb(255, 200, 200, 40),
|
|
stroke: none,
|
|
anchor: "origin",
|
|
)
|
|
// Kvadrant IV (270° til 360°): COS positiv - lysegul
|
|
arc(
|
|
(0, 0),
|
|
start: 270deg,
|
|
stop: 360deg,
|
|
radius: r,
|
|
mode: "PIE",
|
|
fill: rgb(255, 255, 200, 40),
|
|
stroke: none,
|
|
anchor: "origin",
|
|
)
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// HOVEDCIRKEL
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
circle((0, 0), radius: r, stroke: (paint: black, thickness: 1.5pt))
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// AKSER med pile
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// x-akse (Real akse / cos-akse)
|
|
line((-r - 1.0, 0), (r + 1.0, 0), stroke: (paint: gray, thickness: 1pt), mark: (end: "stealth", fill: gray))
|
|
// y-akse (Imaginær akse / sin-akse)
|
|
line((0, -r - 1.0), (0, r + 1.0), stroke: (paint: gray, thickness: 1pt), mark: (end: "stealth", fill: gray))
|
|
|
|
// Akseetiketter
|
|
content((r + 1.3, 0), text(weight: "bold")[$x = cos(theta) = "Re"$], anchor: "west")
|
|
content((0, r + 1.3), text(weight: "bold")[$y = sin(theta) = "Im"$], anchor: "south")
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// CAST-REGEL ETIKETTER (i hver kvadrant)
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
content((r * 0.5, r * 0.5), text(size: 10pt, fill: rgb(0, 100, 0))[
|
|
#box(fill: rgb(200, 255, 200, 150), inset: 3pt, radius: 2pt)[#strong[A]lle $+$]
|
|
])
|
|
content((-r * 0.5, r * 0.5), text(size: 10pt, fill: rgb(0, 0, 150))[
|
|
#box(fill: rgb(200, 200, 255, 150), inset: 3pt, radius: 2pt)[#strong[S]in $+$]
|
|
])
|
|
content((-r * 0.5, -r * 0.5), text(size: 10pt, fill: rgb(150, 0, 0))[
|
|
#box(fill: rgb(255, 200, 200, 150), inset: 3pt, radius: 2pt)[#strong[T]an $+$]
|
|
])
|
|
content((r * 0.5, -r * 0.5), text(size: 10pt, fill: rgb(150, 100, 0))[
|
|
#box(fill: rgb(255, 255, 200, 150), inset: 3pt, radius: 2pt)[#strong[C]os $+$]
|
|
])
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// KVADRANT-NUMRE (romertal i hjørnerne)
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
content((r * 0.85, r * 0.85), text(size: 8pt, fill: gray)[I])
|
|
content((-r * 0.85, r * 0.85), text(size: 8pt, fill: gray)[II])
|
|
content((-r * 0.85, -r * 0.85), text(size: 8pt, fill: gray)[III])
|
|
content((r * 0.85, -r * 0.85), text(size: 8pt, fill: gray)[IV])
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// ALLE 16 VIGTIGE VINKLER MED KOMPLETTE DATA
|
|
// Format: (grader, radianer-label, cos-værdi, sin-værdi, kompleks-form)
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
let angles = (
|
|
// Grad 0 (Kvadrant I/IV grænse)
|
|
(0, $0$, $1$, $0$, $1$),
|
|
// Kvadrant I
|
|
(30, $pi/6$, $sqrt(3)/2$, $1/2$, $e^(i pi/6)$),
|
|
(45, $pi/4$, $sqrt(2)/2$, $sqrt(2)/2$, $e^(i pi/4)$),
|
|
(60, $pi/3$, $1/2$, $sqrt(3)/2$, $e^(i pi/3)$),
|
|
(90, $pi/2$, $0$, $1$, $i$),
|
|
// Kvadrant II
|
|
(120, $(2pi)/3$, $-1/2$, $sqrt(3)/2$, $e^(i 2pi/3)$),
|
|
(135, $(3pi)/4$, $-sqrt(2)/2$, $sqrt(2)/2$, $e^(i 3pi/4)$),
|
|
(150, $(5pi)/6$, $-sqrt(3)/2$, $1/2$, $e^(i 5pi/6)$),
|
|
(180, $pi$, $-1$, $0$, $-1$),
|
|
// Kvadrant III
|
|
(210, $(7pi)/6$, $-sqrt(3)/2$, $-1/2$, $e^(i 7pi/6)$),
|
|
(225, $(5pi)/4$, $-sqrt(2)/2$, $-sqrt(2)/2$, $e^(i 5pi/4)$),
|
|
(240, $(4pi)/3$, $-1/2$, $-sqrt(3)/2$, $e^(i 4pi/3)$),
|
|
(270, $(3pi)/2$, $0$, $-1$, $-i$),
|
|
// Kvadrant IV
|
|
(300, $(5pi)/3$, $1/2$, $-sqrt(3)/2$, $e^(i 5pi/3)$),
|
|
(315, $(7pi)/4$, $sqrt(2)/2$, $-sqrt(2)/2$, $e^(i 7pi/4)$),
|
|
(330, $(11pi)/6$, $sqrt(3)/2$, $-1/2$, $e^(i 11pi/6)$),
|
|
)
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// TEGN ALLE VINKLER
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
for (deg, rad_label, cos_val, sin_val, complex_form) in angles {
|
|
let rad = deg * calc.pi / 180
|
|
let x = r * calc.cos(rad)
|
|
let y = r * calc.sin(rad)
|
|
|
|
// Radial linje fra origin til punkt (stiplet)
|
|
line((0, 0), (x, y), stroke: (paint: blue.darken(20%), thickness: 0.6pt, dash: "dashed"))
|
|
|
|
// Punkt på cirklen
|
|
circle((x, y), radius: 0.08, fill: blue, stroke: (paint: white, thickness: 0.5pt))
|
|
|
|
// Projektionslinjer til akserne (hjælpelinjer for at vise cos og sin)
|
|
if deg != 0 and deg != 180 {
|
|
line((x, 0), (x, y), stroke: (paint: red.lighten(30%), thickness: 0.4pt, dash: "dotted"))
|
|
}
|
|
if deg != 90 and deg != 270 {
|
|
line((0, y), (x, y), stroke: (paint: green.lighten(30%), thickness: 0.4pt, dash: "dotted"))
|
|
}
|
|
}
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// GRADTAL PÅ YDERSIDEN AF CIRKLEN
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
let deg_radius = r + 0.35
|
|
for (deg, rad_label, cos_val, sin_val, complex_form) in angles {
|
|
let rad = deg * calc.pi / 180
|
|
let x = deg_radius * calc.cos(rad)
|
|
let y = deg_radius * calc.sin(rad)
|
|
|
|
// Bestem ankerpunkt baseret på vinkel
|
|
let anchor = if deg == 0 { "west" } else if deg < 90 { "south-west" } else if deg == 90 { "south" } else if deg < 180 { "south-east" } else if deg == 180 { "east" } else if deg < 270 { "north-east" } else if deg == 270 { "north" } else { "north-west" }
|
|
|
|
content((x, y), text(size: 7pt, fill: gray.darken(20%))[#deg°], anchor: anchor)
|
|
}
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// RADIANER PÅ INDERSIDEN AF CIRKLEN
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
let rad_radius = r - 0.45
|
|
for (deg, rad_label, cos_val, sin_val, complex_form) in angles {
|
|
let rad = deg * calc.pi / 180
|
|
let x = rad_radius * calc.cos(rad)
|
|
let y = rad_radius * calc.sin(rad)
|
|
|
|
// Bestem ankerpunkt (modsat af grader)
|
|
let anchor = if deg == 0 { "east" } else if deg < 90 { "north-east" } else if deg == 90 { "north" } else if deg < 180 { "north-west" } else if deg == 180 { "west" } else if deg < 270 { "south-west" } else if deg == 270 { "south" } else { "south-east" }
|
|
|
|
content((x, y), text(size: 6pt, fill: purple.darken(20%))[$#rad_label$], anchor: anchor)
|
|
}
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// KOORDINATER (cos, sin) VED HVERT PUNKT
|
|
// Placeret længere ude for læsbarhed
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
let coord_radius = r + 1.0
|
|
for (deg, rad_label, cos_val, sin_val, complex_form) in angles {
|
|
let rad = deg * calc.pi / 180
|
|
let x = coord_radius * calc.cos(rad)
|
|
let y = coord_radius * calc.sin(rad)
|
|
|
|
// Juster position for akseværdier
|
|
let (adj_x, adj_y) = if deg == 0 { (x + 0.2, y - 0.3) } else if deg == 90 { (x + 0.5, y + 0.2) } else if deg == 180 { (x - 0.2, y - 0.3) } else if deg == 270 { (x + 0.5, y - 0.2) } else { (x, y) }
|
|
|
|
// Bestem ankerpunkt
|
|
let anchor = if deg == 0 { "north-west" } else if deg < 90 { "south-west" } else if deg == 90 { "south-west" } else if deg < 180 { "south-east" } else if deg == 180 { "north-east" } else if deg < 270 { "north-east" } else if deg == 270 { "north-west" } else { "north-west" }
|
|
|
|
// Kun vis koordinater for ikke-aksepunkter (aksepunkter vises separat)
|
|
if deg != 0 and deg != 90 and deg != 180 and deg != 270 {
|
|
content(
|
|
(adj_x, adj_y),
|
|
text(size: 5.5pt)[#box(fill: white.darken(5%), inset: 1pt, radius: 1pt)[$(#cos_val, #sin_val)$]],
|
|
anchor: anchor,
|
|
)
|
|
}
|
|
}
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// AKSEPUNKTER (specielle værdier) - større og tydeligere
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// (1, 0) ved 0°
|
|
content((r + 0.15, -0.35), text(size: 7pt)[
|
|
#box(fill: white, inset: 2pt, radius: 2pt, stroke: 0.3pt + gray)[
|
|
$(1, 0)$ \ $= 1$
|
|
]
|
|
], anchor: "north-west")
|
|
|
|
// (0, 1) ved 90°
|
|
content((0.35, r + 0.15), text(size: 7pt)[
|
|
#box(fill: white, inset: 2pt, radius: 2pt, stroke: 0.3pt + gray)[
|
|
$(0, 1)$ \ $= i$
|
|
]
|
|
], anchor: "south-west")
|
|
|
|
// (-1, 0) ved 180°
|
|
content((-r - 0.15, -0.35), text(size: 7pt)[
|
|
#box(fill: white, inset: 2pt, radius: 2pt, stroke: 0.3pt + gray)[
|
|
$(-1, 0)$ \ $= -1$
|
|
]
|
|
], anchor: "north-east")
|
|
|
|
// (0, -1) ved 270°
|
|
content((0.35, -r - 0.15), text(size: 7pt)[
|
|
#box(fill: white, inset: 2pt, radius: 2pt, stroke: 0.3pt + gray)[
|
|
$(0, -1)$ \ $= -i$
|
|
]
|
|
], anchor: "north-west")
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// AKSEMARKERINGER (tick marks ved ±1)
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// x-akse tick marks
|
|
line((r, -0.1), (r, 0.1), stroke: black)
|
|
line((-r, -0.1), (-r, 0.1), stroke: black)
|
|
// y-akse tick marks
|
|
line((-0.1, r), (0.1, r), stroke: black)
|
|
line((-0.1, -r), (0.1, -r), stroke: black)
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// EKSEMPEL-VINKEL θ MED VISUALISERING
|
|
// Tegner en eksempel vinkel ved 45° med forklaring
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
let example_deg = 45
|
|
let example_rad = example_deg * calc.pi / 180
|
|
let ex = r * calc.cos(example_rad)
|
|
let ey = r * calc.sin(example_rad)
|
|
|
|
// Tykkere linje for eksemplet
|
|
line((0, 0), (ex, ey), stroke: (paint: orange, thickness: 2pt), name: "example-line")
|
|
|
|
// Vinkelmarkering (bue fra x-aksen til linjen)
|
|
arc(
|
|
(0, 0),
|
|
start: 0deg,
|
|
stop: 45deg,
|
|
radius: 0.8,
|
|
stroke: (paint: orange, thickness: 1.5pt),
|
|
mark: (end: "stealth", fill: orange, scale: 0.5),
|
|
)
|
|
|
|
// θ label ved vinklen
|
|
content((1.0, 0.35), text(size: 10pt, fill: orange, weight: "bold")[$theta$])
|
|
|
|
// Fremhæv projektioner for eksemplet
|
|
line((ex, 0), (ex, ey), stroke: (paint: red, thickness: 1.5pt), name: "sin-line")
|
|
line((0, ey), (ex, ey), stroke: (paint: green.darken(20%), thickness: 1.5pt), name: "cos-line")
|
|
line((0, 0), (ex, 0), stroke: (paint: green.darken(20%), thickness: 1.5pt))
|
|
|
|
// Labels for cos og sin projektioner
|
|
content((ex / 2, -0.25), text(size: 8pt, fill: green.darken(20%), weight: "bold")[$cos(theta)$])
|
|
content((ex + 0.35, ey / 2), text(size: 8pt, fill: red, weight: "bold")[$sin(theta)$])
|
|
|
|
// Radius = 1 label
|
|
content((ex / 2 - 0.15, ey / 2 + 0.25), text(size: 7pt, fill: orange)[$r = 1$], anchor: "south-east")
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// NØGLE-FORMLER I BUNDEN
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
content((0, -r - 2.2), text(size: 8pt)[
|
|
#box(fill: rgb(245, 245, 255), inset: 6pt, radius: 3pt, stroke: 0.5pt + gray)[
|
|
#std.grid(
|
|
columns: 3,
|
|
gutter: 15pt,
|
|
[#strong[Eulers formel:] \ $e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta)$],
|
|
[#strong[Koordinat:] \ $(cos(theta), sin(theta))$],
|
|
[#strong[Kompleks tal:] \ $z = e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta)$],
|
|
)
|
|
]
|
|
])
|
|
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
// EKSTRA: Vigtige trigonometriske værdier tabel (til højre)
|
|
// ═══════════════════════════════════════════════════════════════
|
|
content((r + 3.5, 0), text(size: 6pt)[
|
|
#box(fill: white, inset: 4pt, radius: 2pt, stroke: 0.5pt + gray)[
|
|
#table(
|
|
columns: 3,
|
|
align: center,
|
|
stroke: 0.3pt + gray,
|
|
inset: 2pt,
|
|
[*θ*],
|
|
[$cos$],
|
|
[$sin$],
|
|
[$0$],
|
|
[$1$],
|
|
[$0$],
|
|
[$pi/6$],
|
|
[$sqrt(3)/2$],
|
|
[$1/2$],
|
|
[$pi/4$],
|
|
[$sqrt(2)/2$],
|
|
[$sqrt(2)/2$],
|
|
[$pi/3$],
|
|
[$1/2$],
|
|
[$sqrt(3)/2$],
|
|
[$pi/2$],
|
|
[$0$],
|
|
[$1$],
|
|
)
|
|
]
|
|
], anchor: "west")
|
|
},
|
|
)
|
|
]
|
|
]
|
|
|
|
#note-box[
|
|
*Sådan læser du enhedscirklen:*
|
|
|
|
1. *Vinklen $theta$* måles fra den positive $x$-akse (mod uret er positiv)
|
|
|
|
2. *Koordinaterne* $(x, y)$ på cirklen er $(cos(theta), sin(theta))$
|
|
|
|
3. *Komplekst tal*: Punktet svarer til $z = e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta)$
|
|
|
|
4. *CAST-reglen* fortæller hvilke funktioner er positive:
|
|
- #strong[Kvadrant I] ($0° - 90°$): #strong[A]lle positive
|
|
- #strong[Kvadrant II] ($90° - 180°$): Kun #strong[S]in positiv
|
|
- #strong[Kvadrant III] ($180° - 270°$): Kun #strong[T]an positiv
|
|
- #strong[Kvadrant IV] ($270° - 360°$): Kun #strong[C]os positiv
|
|
|
|
5. *Huske-værdier*: $sqrt(3)/2 approx 0.87$, $sqrt(2)/2 approx 0.71$, $1/2 = 0.5$
|
|
]
|
|
|
|
== Mulige former for komplekse tal til eksamen
|
|
#lemma(name: "4.6.1")[
|
|
$
|
|
e^Z = w
|
|
$
|
|
$Z in CC$ skal findes\
|
|
$w in CC$ er givet.
|
|
|
|
$
|
|
Z = ln(|w|) + i (A r g(w) + P 2 pi), p in ZZ
|
|
$
|
|
|
|
#important()[
|
|
Angiv altid $, p in ZZ$ for at få fuld point
|
|
]
|
|
]
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
e^Z=sqrt(2)+sqrt(2)i\
|
|
w = sqrt(2)+sqrt(2)i\
|
|
|w|=sqrt(2+2)=2\
|
|
A r g(w) = pi/4\
|
|
Z = ln(2) + i (pi/4 + 2p pi), p in ZZ
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
=== Binome ligninger (binomier)
|
|
Er et polynomium $Z^n=w$
|
|
|
|
$Z,w in CC, n in ZZ_(>=0)$
|
|
|
|
$
|
|
Z= root(n, |w|) dot e^(i ((a r g(w))/n + p (2 pi)/n)), p = {0,dots,n-1}
|
|
$
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
Z^3=-i\
|
|
n=3\
|
|
w=-i, |w|=1\
|
|
A r g(w)=-pi/2\
|
|
Z = root(3, 1) dot e^(i dot (-pi/6 + p (2 pi)/3)), p in {0,1,2}\
|
|
Z = 1 e^(i ((-pi/2)/3 + p 2 pi/3)) = e^(i (-pi/6 + p 2 pi/3)), quad p = {0,1,2} \
|
|
Z = e^(- pi/6 i), e^(pi/2 i), e^((-5 pi)/6 i)
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
= Polynomier
|
|
$
|
|
P(Z)&=a_0 Z^0 + a_1 Z^1 + a_2 Z^2 + dots + a_n Z^n\
|
|
&=a_0 + a_1 Z + a_2 Z^2 + dots + a_n Z^n
|
|
$
|
|
Hvis $a_n eq.not 0$ kaldes det et n'te grads polynomie.
|
|
|
|
== Rødder
|
|
Tal $lambda$ sǻ $P(lambda)=0$
|
|
|
|
#definition(title: "Sætning 5.6.1: Algebraets fundamentalsætning")[
|
|
Et n'te grads polynomie har n komplekse rødder regnet med multiplicitet.
|
|
|
|
Man kan omskrive alle polynomier som et produkt af førstegradspolynomier.\
|
|
Hvis $p(z)$ har rødder $lambda_1, dots, lambda_n$, kan det omskrives til:
|
|
$
|
|
P(z)=a_n (z-lambda_1) dot dots dot (z-lambda_n)
|
|
$
|
|
eller med multiplicitet:
|
|
$
|
|
P(z)=a_n (z-lambda_1)^(m_1)dot dots dot (lambda_j)^(m_j)\
|
|
lambda_1 eq.not lambda_2 eq.not dots eq.not lambda_j
|
|
$
|
|
og $m_1 + dots + m_j = n$
|
|
|
|
$m_k$ kaldes den algebraiske multiplicitet af $lambda_k$
|
|
]
|
|
|
|
=== Hvordan finder man rødder
|
|
For $n=1:$ $P(z)=a_0+a_1z=0 => lambda = - a_0/a_1$
|
|
|
|
For $n=2:$ $P(z)=c+b z + a z^2 => lambda = (-b plus.minus sqrt(D))/(2 a), D = b^2 - 4 a c$
|
|
|
|
Hvis $D<0$: $lambda=(-b plus.minus i sqrt(|D|))/(2 a)$
|
|
|
|
#note-box()[
|
|
Man kan muligvis få opgaver, hvor man skal gætte en rod ved $n>2$. Her er den typisk mellem -2 og 2
|
|
]
|
|
|
|
=== Divisionsalgoritmen
|
|
|
|
#example()[
|
|
$P(z)=2z^3-2z^2-8z-12$ givet\
|
|
$p(3)=0$ også givet.
|
|
|
|
Find alle rødder:
|
|
#solution()[
|
|
Vi ved at:
|
|
$
|
|
P(z)=(z-3)q(z)
|
|
$
|
|
Bruger divisionsalgoritmen til at finde $q(z)$
|
|
#image("divisionsalgoritmen.png",width:50%)
|
|
]
|
|
]
|
|
Resten ved divisionsalgoritmen skal være 0, ellers er det ikke en rod.
|
|
|
|
Alle $P(z) in RR[Z]$ så kan det skrives som produkt af reelle første- og andengradspolynomier.
|
|
|
|
= Matricer
|
|
$
|
|
bold(A) = mat(a_11,a_12,a_13,dots,a_(1 n);a_21,a_22,dots,,a_(2 n);dots.v;a_(m 1),a_(m 2),dots,a_(m n)) in FF^(n times m)
|
|
$
|
|
|
|
$ &mat(a_1, c_1; b_1, d_1) + mat(a_2, c_2; b_2, d_2)\
|
|
&= mat(a_1+a_2, c_1+c_2; b_1+b_2, d_1+d_2)
|
|
$
|
|
|
|
$
|
|
&mat(a_1, c_1; b_1, d_1) dot mat(a_2, c_2; b_2, d_2)\
|
|
&=mat(a_1 a_2 + c_1 b_2, a_1 c_2 + c_1 d_2; a_1 b_2 + d_1 b_2, b_1 c_2 + d_1 d_2)
|
|
$
|
|
Når man ganger matricer sammen skal den anden matrix have samme mængde rækker som den første søjler.
|
|
|
|
#note-box()[
|
|
Når der står $bold(A) in FF^(m times n)$ er $m$ antal søjler (hvor mange tal nedad) og $n$ er antal rækker (hvor mange tal til højre)
|
|
]
|
|
|
|
== Søjlevektor
|
|
$ bold(v) in FF^n
|
|
bold(v) = mat(v_1;v_2;dots.v;v_n)
|
|
$
|
|
|
|
|
|
== Lineært ligningssystem
|
|
Mængde af lineære ligninger
|
|
$
|
|
cases(
|
|
a_11 x_1 + a_12 x_2 + dots + a_(1 n) x_n = b_1,
|
|
dots.v,
|
|
a_(m 1) x_1 + a_(m 2) x_2 + dots + a_(m n) x_n = b_n
|
|
)
|
|
$
|
|
$
|
|
bold(A) bold(x) = bold(b):\
|
|
mat(a_11,dots,,a_(1 n);dots.v;a_(m 1), dots,, a_(m n)) dot mat(x_1;dots.v;x_n) = mat(b_1; dots.v; b_n)
|
|
$
|
|
|
|
Gauss elimination
|
|
|
|
$
|
|
bold(T) = mat(bold(A), bold(b); augment: #1) = mat(2,1,1,1;4,5,7,2; augment: #(-1))
|
|
$
|
|
|
|
Reduceret trappeform:
|
|
|
|
$
|
|
mat(1,0,0;0,1,0;augment: #(-1))\
|
|
mat(1,0;0,1) mat(x_1;x_2) = mat(0;0)\
|
|
1 x_1 + 0x_2 = 0, x_1 = 0\
|
|
0 x_1 + 1 x_2 = 0, x_2 = 0
|
|
$
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
bold(A) = mat(1,-4,0,1;0,0,1,2;0,0,0,0;augment: #(-1))
|
|
bold(x)=mat(x_1;x_2;x_3)
|
|
$
|
|
$
|
|
bold(A) dot bold(x) = mat(1,-4,0;0,0,1;0,0,0) dot mat(x_1;x_2;x_3) = mat(x_1 - 4 x_2;x_3;0) = mat(1;2;0)
|
|
$
|
|
|
|
#solution()[
|
|
|
|
$x_1-4x_2 = 1$\
|
|
$x_3 = 2$\
|
|
$x_2 = t, x_1 = 1 + 4t$
|
|
$
|
|
mat(x_1;x_2;x_3)&=mat(1+4t;t;2)\
|
|
&=mat(1;0;2)+t mat(4;1;0)
|
|
$
|
|
]
|
|
]
|
|
|
|
= Induktion
|
|
Ideen er, at vi viser to ting:
|
|
$
|
|
cases(
|
|
P(1) "holder",
|
|
"For alle" n in NN_(>=2) P(n-1) => P(n)
|
|
)
|
|
$
|
|
Kan også forskydes (så vis $P(2)$ holder og $P(n-1)=> P(n)$ for alle $n in NN_(>=3)$)
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
sum^n_(k=1)k=(n(n+1))/2
|
|
$
|
|
Basis (holder):
|
|
$ sum^1_(k=1)k=1, (1 (1+1))/2 = 1 $
|
|
|
|
Induktionshypotese:\
|
|
$
|
|
sum^(n-1)_(k=1)k=((n-1)(n-1+1))/2=((n-1)dot n)/2
|
|
$
|
|
|
|
$
|
|
sum^(n)_(k=1)k=underbrace(1+2+3+dots+(n-2)+(n-1), sum^(n-1)_(k=1)k) + n
|
|
$
|
|
$
|
|
sum^(n)_(k=1)k&=sum^(n-1)_(k=1)k + n\
|
|
&=((n-1)n)/2 + (2n)/2\
|
|
&=((n-1)n+2n)/2\
|
|
&= (n^2-n+2n)/2\
|
|
&= (n^2+n)/2 = (n(n+1))/2
|
|
$
|
|
Så hypotesen holder.
|
|
]
|
|
|
|
#example(title: $(S_1,S_2,dots)$)[
|
|
$
|
|
S_n=cases(1 &"for" n=1, 2 dot S_(n-1)+1 &"for" n>= 2) "for" n in NN
|
|
$
|
|
Vis at $S_n=2^n-1$
|
|
|
|
*Basis:*\
|
|
$n=1, S_1=1, 2^1-1=1$
|
|
|
|
*Induktionshypotese:*\
|
|
Antag, at der for et vilkårligt $n>=2$ gælder $S_(n-1)=2^(n-1)-1$
|
|
|
|
$
|
|
S_n&=2 S_(n-1)+1\
|
|
&= 2 dot (2^(n-1)-1)+1\
|
|
&= 2^n-2+1
|
|
&= 2^n-1
|
|
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
sum^n_(k=2)2^k=2^(n+1)-4 "for alle" n in NN_(>=2)
|
|
$
|
|
*Basis:* $n=2$
|
|
$
|
|
sum^2_(k=2)2^k=2^2=4\
|
|
2^(2+1)-4=8-4=4
|
|
$
|
|
*Induktion:* for $n in NN_(>=2)$
|
|
$
|
|
sum^(n-1)_(k=2)2^k=2^((n-1)+1)-4=2^n-4
|
|
$
|
|
Betragt:
|
|
$
|
|
sum^n_(k=2)2^k&=sum^(n-1)_(k=2)2^k+2^n\
|
|
&=2^n-4+2^n\
|
|
&=2 dot 2^n-4\
|
|
&=2^(n+1)-4
|
|
$
|
|
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
a_n=cases(2 &"for" n=1,sqrt(2+3 dot a_(n-1)) &"for" n>=2)
|
|
$
|
|
Vi vil vise, at $a_n < 4$ for alle $n in NN$
|
|
|
|
*Basis:* $n=1$\
|
|
$a_1 = 4 < 4$
|
|
|
|
*Induktion:* $a_(n-1) < 4$ for $n in NN_(>=2)$
|
|
|
|
Betrakt:
|
|
$
|
|
a_n=sqrt(2+3 a_(n-1)) < sqrt(2+3 dot 4) = sqrt(2+12)=sqrt(14)<sqrt(16)=4
|
|
$
|
|
|
|
]
|
|
|
|
|
|
#note-box()[
|
|
Hvis $x<y$, så $sqrt(x)<sqrt(y)$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
For alle $n in NN_(>=4)$, vis at $n! >= 2^(n-1)$
|
|
|
|
*Basis:* $n=4$\
|
|
$4!=4 dot 3 dot 2 dot 1 = 24, 2^(4-1) = 2^(3)=8$ Holder
|
|
|
|
*Induktion:* Antag for $n in NN_(>=5)$ at $(n-1)! >= 2^(n-1-1) = 2^(n-2)$
|
|
|
|
Betragt
|
|
$
|
|
n! &= n dot (n-1)!\
|
|
&>= n dot 2^(n-2)\
|
|
&=1/2 dot n dot 2^(n-1) >= 2^(n-1)
|
|
$
|
|
Fordi vi ved at $1/2 n >= 1$, må $1/2 n dot 2^(N-1)$ være større end $1 dot 2^(n-1)$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$bold(A) = mat(1,2;0,1)$
|
|
|
|
Vis at $bold(A)=mat(1,2n;0,1)$ for alle $n in NN$
|
|
|
|
*Basis:* $n=1$\
|
|
$bold(A)^1 = bold(A), mat(1, 2 dot 1; 0, 1) = bold(A)$
|
|
|
|
*Induktion:*\
|
|
Antag $bold(A)^(n-1)=mat(1, 2 (n-1);0,1)$ for $n in NN_(>=2)$
|
|
|
|
Betragt
|
|
$
|
|
&bold(A)^n = bold(A)^(n-1) dot bold(A)\
|
|
&=mat(1, 2 (n-1);0,1) dot mat(1,2;0,1)\
|
|
&= mat(1, 2+2(n-1);0,1)\
|
|
&= mat(1,2n;0,1)
|
|
$
|
|
]
|
|
= Lineære algebra
|
|
== Vektorrum
|
|
#example()[
|
|
$bold(v_1)=vec(1,2,1,4), bold(v_2)=vec(3,3,0,1), bold(v_3)=vec(7,8,1,6)$
|
|
|
|
Start med at finde en ordnet basis for $bold(V)$
|
|
|
|
$
|
|
mat(bold(v_1),bold(v_2),bold(v_3)) = mat(1,3,7;2,3,8;1,0,1;4,1,6) arrow.long_("RREF") mat(1,0,1;0,1,2;0,0,0;0,0,0)
|
|
$
|
|
$(bold(v_1),bold(v_2))$ er en ordnet basis for $bold(V)$.
|
|
|
|
Dimensionen for den ordnet basis er antal vektorer i den ordnet basis (her 2).
|
|
|
|
*Opskriv lineær kombination for vektoren der ikke er i ordnet basis:*\
|
|
$bold(v_3)=1 dot bold(v_1) + 2 dot bold(v_2)$
|
|
]
|
|
|
|
|
|
|
|
#definition(title: "Sætning 9.2.1")[
|
|
Sæt vektor sammen til en matrice, få den på reduceret trappeform. I de søjler der er pivotelementer, er de vektorer der er i den ordnet base.
|
|
]
|
|
|
|
#definition(title: "Nulrummet")[
|
|
Alle de $bold(x) in RR^n$ således at $bold(A) dot bold(x) = bold(0)$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
bold(A) = mat(1,3,7;2,3,8;1,0,1;4,1,6)\
|
|
r r e f(mat(bold(A),bold(0)))= mat(1,0,1,0;0,1,2,0;0,0,0,0;0,0,0,0)\
|
|
x_1 + x_3 = 0 <=> x_1 = -x_3\
|
|
x_2 + 2x_3 = 0 <=> x_2 = -2x_3
|
|
$
|
|
|
|
$
|
|
vec(x_1,x_2,x_3) = t vec(-1,-2,1) in ker(bold(A)), t in RR
|
|
$
|
|
|
|
$ ker(bold(A))="span"{vec(-1,-2,1)} $
|
|
|
|
*Søjlerummet:*
|
|
|
|
$bold(A) dot bold(x) = bold(b)$ hvor $bold(x)$ kan variere frit, hvad kan $bold(b)$ så være?
|
|
|
|
$"colsp"(bold(A))="span"{vec(1,2,1,4),vec(3,3,0,1)}$
|
|
]
|
|
|
|
== Polynomiumrum
|
|
$
|
|
W = {a + b Z | a,b in CC} subset.eq CC[Z]
|
|
$
|
|
Vis at $W$ er et underrum.
|
|
|
|
#lemma(name: "10.4.2")[
|
|
Altid skriv, at du bruger Lemma 10.4.2 til eksamen.
|
|
|
|
Lad $V$ være et vektorrum over $FF$ og $W$ en delmængde af $V$, *der ikke er tom*. Da er $W$ et underrum i $V$, hvis følgende er opfyldt:
|
|
$
|
|
"for alle" bold(u), bold(v) in W "og alle" c in FF "gælder der, at" bold(u) + c dot bold(v) in W
|
|
$
|
|
|
|
$u = a_1+b_1Z\ v=a_2+b_2Z$
|
|
|
|
Betragt
|
|
$
|
|
u+ alpha dot v &= (a_1+b_1Z)+alpha (a_2 + b_2 Z)\
|
|
&= a_1 + b_1Z + alpha a_2+ alpha b_2Z = underbrace((a_1 + alpha a_2), a in CC) + underbrace((b + alpha b_2), b in CC)Z
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$W_0 = {a+Z| a in CC} subset.eq CC[Z]$
|
|
|
|
Vis at $W_0$ *ikke* er et underrum, bruger vi Lemma 10.4.2.
|
|
|
|
$
|
|
u=1+Z in W_0\
|
|
u+u = 1 + Z + 1 + Z = 2 + 2Z in.not W_0
|
|
$
|
|
Er ikke et underrum da det kun er et underrum hvis du har $1 dot Z$ men vi har her $2 dot Z$
|
|
]
|
|
|
|
== Basis
|
|
#definition()[
|
|
$beta = {1,Z,Z^2,Z^3,dots,Z^n}$ er lineært uafhængige, og enhver delmængde er også lineær uafhængig.
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$W = {a+b Z| a,b in CC}, beta = {1,Z}$
|
|
|
|
$c_1 dot 1 + c_2 dot Z = 0 + 0 dot Z => c_1 = c_2 = 0$
|
|
|
|
$gamma = (4+Z, 2+3Z)$
|
|
|
|
To krav fra definition 10.2.4:
|
|
|
|
Hvis antal uafhængige baser er det samme som dimensionen, er de lineært uafhængige og er en ordnet basis.
|
|
|
|
/ 1): $c_1 (4+Z) + c_2 (2+3Z) = 0 [=> c_1 = c_2=0]$
|
|
$ 4c_1 + c_1 Z + 2c_2 + 3c_2Z = 0\
|
|
=(4c_1+2c_2)dot 1 +(c_1+3c_2)Z = 0\
|
|
4c_1+2c_2=0\
|
|
c_1+3c_2=0
|
|
$
|
|
Totalmatrix:
|
|
$
|
|
mat(4,2,0;1,3,0; augment: #(-1)) arrow.long_("RREF") mat(1,0,0;0,1,0; augment: #(-1))\
|
|
"så" c_1=0 "og" c_2=0
|
|
$
|
|
Fordi $c_1=0 "og" c_2=0$ må $gamma$ være lineært uafhængige.
|
|
|
|
/ 2): For $u in W$ så $u=a+b Z$.
|
|
|
|
Vi vil vise, at der findes $c_1,c_2 in CC$ således at $c_1(4+Z)+c_2(2+3Z) = a+b Z$
|
|
|
|
$a,b$ er givet i opgaven, så de kendes.
|
|
|
|
$
|
|
(4c_1+2c_2)+(c_1+3c_2)Z=a+b Z\
|
|
4c_1+2c_2=a\
|
|
c_1+3c_2=b\
|
|
$
|
|
Totalmatrix:
|
|
$
|
|
mat(4,2,a;1,3,b;augment: #(-1)) arrow.long_("RREF") mat(1,0,-b/5+3a/10;0,1,2b/5-a/10;augment: #(-1))\
|
|
c_1=-b/5+3a/10\
|
|
c_2=2b/5-a/10
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
== Lineære afbildninger
|
|
$
|
|
f: RR^2 arrow RR, f(vec(x_1,x_2)) = x_1+x_2
|
|
$
|
|
#example()[
|
|
$f$ er lineær hvis $f(bold(x)+bold(y)) = f(bold(x))+f(bold(y)) "og" f(c dot bold(x)) = c dot f(bold(x))$
|
|
|
|
/ 1): $bold(x),bold(y) in RR^2 "så vil" bold(x) = vec(x_1,x_2) "og" bold(y) = vec(y_1,y_2)$
|
|
$
|
|
f(vec(x_1,x_2)+vec(y_1,y_2))&=f(vec(x_1,x_2))+f(vec(y_1,y_2))\
|
|
&=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\
|
|
&=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\
|
|
&=f(vec(x_1,x_2))+f(y_1,y_2)
|
|
$
|
|
/ 2): $f(c dot vec(x_1,x_2)), c in RR$
|
|
$
|
|
f(c dot vec(x_1,x_2))&=f(vec(c x_1,c x_2))\
|
|
&= c x_1 + c x_2 = c (x_1+x_2)\
|
|
&= c dot f(vec(x_1,x_2))
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
g: RR^2 arrow RR, g(vec(x_1,x_2)) = x_1 dot x_2
|
|
$
|
|
$g$ er *ikke* lineær.
|
|
|
|
/ 2): $g(c dot vec(x_1,x_2))=g(vec(c x_1, c x_2)), c in RR$
|
|
$
|
|
|
|
$
|
|
|
|
]
|
|
|
|
|
|
#lemma(name: "11.3.3")[
|
|
$L: V_1 arrow V_2$
|
|
|
|
$beta = (v_1, dots, v_n) "for" V_1\ gamma = (w_1,dots,w_n) "for" V_2$
|
|
|
|
$
|
|
amat(L, gamma, beta) = mat([L(v_1)]_gamma, [L(v_2)]_gamma, dots, [L(v_n)]_gamma)
|
|
$
|
|
|
|
/ 1): Voldregn $L(v_1), L(v_2), dots, L(v_n)$
|
|
/ 2): Find: $[L(v_1)]_gamma$. Altså løs: $L(v_1)=c_1^((1)) w_1 +dots+c_n^((1)) w_n$ for alle $v$
|
|
/ 3): $amat(L, gamma, beta) = mat(c_1^((1)),c_1^((2)),dots,c_1^((n));c_2^((1)),c_2^((2)),dots,c_1^((n));dots.v,dots.v,,dots.v;c_m^((1)),c_m^((2)),dots,c_m^((n)))$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$
|
|
f: RR^2 arrow RR^2, f(vec(x_1,x_2)) = x_1+x_2\
|
|
beta = (vec(1,1),vec(-1,1)) "for" RR^2 "og" gamma=3 "for" RR
|
|
$
|
|
/ 1): $f(vec(1,1))=2, f(vec(-1,1))=0$
|
|
|
|
/ 2): $[f(vec(1,1))]_gamma=c_1^((1)) 3 = 2 => c_1^((1))=2/3\ [f(vec(-1,1))]_gamma = c_1^((2))=0 => c_1^((2))=0$
|
|
|
|
/ 3): $amat(f, gamma, beta) = mat(2/3,0)$
|
|
]
|
|
|
|
#example()[
|
|
$amat(f, gamma, beta) = mat(2/3,0)$
|
|
|
|
Hvad er $"Vm"(f)$? Find søjlerummet.
|
|
|
|
$"rref"(amat(f, gamma, beta))=mat(1,0)\ "Vm"(f) = "span"{2/3}={2/3 t| t in RR}$
|
|
|
|
Det er alle reelle tal ganget med $2/3$, men det er også bare reelle tal, så $"Vm"(f)=RR$
|
|
|
|
Den er surjektiv fordi dispositionsmængden er det samme som billedet.
|
|
|
|
$f$ er injektiv hvis og kun hvis $ker(f)={0}$ (og $f$ er lineær)
|
|
|
|
Derfor, find nulrummet. $"rref"(amat(f, gamma, beta))=mat(1,0), x_1 = 0$ dvs.
|
|
|
|
$amat(f, gamma, beta) underbrace(vec(0,t), = t vec(0,1))=0$ for *alle* $t in RR$
|
|
|
|
$f(vec(0,1))=0$. Tilbage til normale koordinater.
|
|
|
|
$0 dot vec(1,1) + 1 vec(-1,1) = vec(-1,1)$ så $ker(f)="span"{vec(-1,1)}, f(vec(-1,1))=0$
|
|
|
|
$vec(-1,1)$ er en ordnet basis for kernen. Dimensionen af kernen er 1, så den er ikke tom, aka. $f$ er ikke injektiv
|
|
]
|
|
|
|
= Egenværdier
|
|
$bold(A)in FF^(n times n)$ har egenværdier $lambda$, som opfylder $bold(A) dot bold(v) = lambda dot bold(v)$
|
|
|
|
Finder egenværdien $det(bold(A)-lambda bold(I)_n)$
|
|
|
|
Finder vektorene/egenrum ($E_j, bold(v_j)$) ved: $ker(bold(A)- lambda_j bold(I)_n)$
|
|
|
|
#example()[
|
|
$bold(A)=mat(1,2;2,1) in RR^(2 times 2)$
|
|
|
|
$det(bold(A)-lambda bold(I)_2) = det(mat(1-lambda,2;2,1-lambda))=(1-lambda)^2-4=0$
|
|
|
|
$(1-lambda)^2-4 => lambda = cases(-1,3)$
|
|
|
|
|
|
$P(Z)=(1-Z)^2-4$ er det karakteristiske polynomium
|
|
|
|
*Egenrum:*
|
|
$
|
|
E_(-1)=ker(bold(A)-(-1) bold(I)_2) = ker(mat(2,2;2,2))\
|
|
mat(2,2;2,2)arrow.long_("RREF") = mat(1,1;0,0), v_1+v_2 = 0 => v_2 = t, v_1 = -t\
|
|
bold(V)= vec(v_1,v_2)=t vec(-1,1)
|
|
$
|
|
$
|
|
E_3="span"{vec(1,1)}
|
|
$
|
|
*Algebraisk multiplicitet:*\
|
|
$"am"(lambda)$ multiplicitet af $lambda$ i $P(z)$
|
|
|
|
$ "gm"(lambda) = dim(E_(lambda))\ 1 <= "gm"(lambda) <= "am"(lambda) $
|
|
|
|
]
|