#import "@local/dtu-template:0.5.1":*


#show: dtu-math-assignment.with(
  course: "01001",
  course-name: "Mathematics 1a (Polytechnical Foundation)",
  title: "Matrixalgebra og determinanter",
  author: "Rasmus Rosendahl-Kaa (S255955)",
  semester: "2025 Fall",
)

#set math.vec(delim: "[")
#set math.mat(delim: "[")
#set text(lang: "da")


= Matrix
$underline(underline(A))$ - en matrix\
$underline(v)$ - en vektor

Har en matrix:
$
underline(underline(A)) = mat(a_11,a_12,dots,a_(1n);dots.v,,,dots.v;a_(m 1),a_(m 2),dots,a_(m n)) space in FF ^(m times n)
$

*Søjlevektor:*\
$ mat(a_11;dots.v;a_(m 1)) in FF^(m times 1) = FF^(m) $
*Rækkevektor:*\
$ mat(a_11,a_12,dots,a_(1 n)) in FF^(1 times n) $

#definition(title: "Addition af vektorer")[
To vektorer $underline(a) "og" underline(b)$: $underline(a)=mat(a_1;dots.v;a_m), underline(b)=mat(b_1;dots.v;b_m)$

$ underline(a)+underline(b)=mat(a_1+b_1;dots.v;a_m+b_m) $
]

#definition(title: "Skalar af vektor")[
Har en vektor $underline(a)$: $underline(a)=mat(a_1;dots.v;a_m)$ og en skalar $c in FF$:

$ c dot underline(a) = mat(a_1 dot c;dots.v;a_m dot c) $
]

#definition(title: "Lineær kombination af vektor")[
$underline(v_1),underline(v_2),dots,underline(v_n) in FF^m "og" c_1,c_2,dots,c_n in FF$
$ c_1 dot underline(v_1) + c_2 dot underline(v_2) + dots + c_n dot underline(v_n) $
Hedder en lineær kombination
]

= Lineær uafhængighed
#definition(title: "7.1.1: Lineær uafhængighed")[
Et sæt vektorer $(underline(v_1),underline(v_2),dots,underline(v_n)$ kaldes lineær uafhængige hvis og kun hvis ligningen:
$ c_1 dot underline(v_1) + c_2 dot underline(v_2) + dots + c_n dot underline(v_n) $
kun har én løsning: $c_1=c_2=dots=c_n=0$
]