#set math.vec(delim: "[")
#set math.mat(delim: "[")
#set text(lang: "da")

= Problem A
Lad $W$ være udspændt af følgende vektorer i $RR^3$:
$
  bold(v)_1 = vec(-1,1,0), quad bold(v)_2 = vec(5,4,3), quad bold(v)_3 = vec(7,11,6)
$

Angiv en ordnet basis for $W$
test

== Løsning
Laver en totalmatrix

= Problem B
Lad $C_infinity (RR)$ være det reelle vektorrum fra Eksempel 10.4.5 i lærebogen. Der defineres en
funktion $L: C_infinity (RR) arrow C_infinity (RR)$ ved $L(f) = f' +f-1$ hvor udtrykket $f'$ betegner den afledte funktion af $f$. Er $L$ en lineær afbildning?


  


= Problem C
Lad $F: CC^2 arrow CC^2$ være defineret som følger:
$
  F(vec(v_1,v_2)) = mat(1,1;-4,5) dot vec(v_1,v_2), quad v_1v_2 in CC
$

Der gives ordnede baser
$
  beta = (vec(1,2),vec(-2,1)) "og" gamma = (vec(1,1), vec(0,1)) op("for") CC^2
$

Beregn afbildningsmatricen $mat(F,beta,gamma)$.


  


= Problem D
Der vælges følgende ordnede basis for det reelle vektorrum $RR^(2 times 2)$:
$
  beta = (mat(1,0;0,0), mat(0,1;0,0), mat(0,0;1,0), mat(0,0;0,1))
$

Givet den lineære afbildning $M: RR^(2 times 2) arrow RR^(2 times 2)$ defineret ved
$
  M(bold(A)) = mat(1,2;-1,-2) dot bold(A), quad bold(A) in RR^(2 times 2)
$

Beregn afbildningsmatricen $mat(M,beta,beta)$.


  


= Problem E
Givet følgende matrix
$
  mat(2,0,0;2,1,-1;2,-1,1) in RR^(3 times 3)
$

Bestem matricens egenværdier samt ordnede baser for de tilhørende egenrum.


  


= Problem F
Om et inhomogent lineært ligningssystem over $RR$ med fire ligninger og to ubekendte oplyses
at 
$
  bold(v)_p = vec(1,-1) in RR^2
$
er en partikulær løsning. Er vektoren $3 dot bold(V)_p$ en løsning til systemet?


  


= Problem G
lad $V$ være det reelle vektorrum $RR^(3 times 3)$. Angiv et underum af $V$ af dimension $5$ og gør rede for dit svar.