#import "@local/dtu-template:0.6.0":*
#import "@preview/physica:0.9.8": *

#show: dtu-note.with(
    course: "01002",
    author: "Rasmus Rosendahl-Kaa",
    course-name: "Matematik 1b",
    title: "Funktioner 1 - Opgaver",
    date: datetime(year: 2026, month: 02, day: 03),
    semester: "Spring 2026"
)

#set math.mat(delim: "[")
#set math.vec(delim: "[")

= Exercises
=== 1: Funktion eller ej?

Betragt følger korrespondance mellem $a$ og $b$ værdier:

#align(center)[
  #table(
    columns: 2,
    align: center,
    [$a$], [$b$],
    [1], [0],
    [2], [1],
    [0], [3],
    [1], [2],
  )
]

Vi betragter funktioner hvis definitionsmængde (domain) er en delmængde af ${0, 1, 2, 3}$ og hvis dispositionsmængde (co-domain) er ${0, 1, 2, 3}$.

Vi skal bestemme om $f$ og $g$ definerer funktioner, hvis vi lader $f$ følge reglen at første søjle ($a$-værdierne) er input og anden søjle ($b$-værdierne) skal være output af funktionen $f$ og definitionsmængden er ${0, 1, 2}$; og vi lader $g$ følge reglen om at anden søjle er input og første søjle skal være output af funktionen $g$ med definitionsmængde ${0, 1, 2, 3}$.

Definerer $f$ en funktion? Gør $g$? I bekræftende fald: bestem værdimængden/billedmængden (engelsk: range/image) for funktionen, og afgør om funktionen er injektiv og surjektiv.

#solution[
    $f$ er ikke en funktion, fordi $a=1$ giver to forskellige værdier.

    $g$ er en funktion. Værdimængden må være $a$'s værdier, så ${0,1,2}$. $G$ er ikke surjektiv da $3$ i dispositionsmængden ikke rammes. Den er heller ikke injektiv, da $1$ rammes 2 gange i dispositionsmængden.
]

=== 2: Ens funktionsforskrifter?

Vi betragter funktioner $f_i: RR -> RR$ givet ved:

$
  f_1(x) &= abs(x) \
  f_2(x) &= cases(x quad & x > 0, -x quad & x <= 0) \
  f_3(x) &= max(x, 0) \
  f_4(x) &= "ReLU"(x) + "ReLU"(-x)
$

hvor $x in RR$.

Nogle af funktionerne er samme funktion. Find dem alle!

#solution[
$f_1 (x)$, $f_2 (x)$ og $f_3(x)$ er ens
]

=== 3: Funktion med ukendt forskrift

Betragt en funktion $f: RR -> RR$ hvorom der gælder $lim_(x -> 2) f(x) = 5$ og $f(2) = 3$. Hvad kan vi sige om $f$ i punktet $x = 2$? Vælg det korrekte svar:

+ Funktionen er kontinuert i punktet $x = 2$.
+ Funktionen er differentiabel i punktet $x = 2$.
+ Funktionen er diskontinuert i punktet $x = 2$.
+ Funktionen er ikke veldefineret i punktet $x = 2$.
+ Man kan ikke afgøre ovenstående, da funktionsforskriften ikke er angivet!

#solution[
Funktionen er diskontinuert i punktet $x=2$.
]

=== 4: Ikke-linearitet af ReLU

Betragt ReLU-funktionen, $"ReLU": RR^n -> RR^n$. Forklar hvorfor funktionen ikke er lineær.

#solution[
    Funktionen er ikke lineær da når $x<0$ kan man ikke differentiere den.
]

=== 5: Mulige visualiseringer

Diskuter om man kan visualisere nedenstående funktioner -- i givet fald plot dem med SymPy/dtumathtools:

+ En skalarfunktion af to variable $f: RR^2 -> RR, quad f(x_1, x_2) = sqrt(abs(x_1 x_2))$
+ En skalarfunktion af fire variable $f: RR^4 -> RR, quad f(x_1, x_2, x_3, x_4) = sqrt(abs(x_1 x_2 x_3 x_4))$
+ En kompleks skalarfunktion af to variable $f: RR^2 -> CC, quad f(x_1, x_2) = sqrt(abs(x_1 x_2)) + i cos(x_1 + x_2)$
+ Et vektorfelt i 2D $bold(f): RR^2 -> RR^2, quad bold(f)(x_1, x_2) = (-x_2 / 3, x_1 / 3)$
+ Et vektorfelt i 3D $bold(f): RR^3 -> RR^3, quad bold(f)(x, y, z) = (x^3 + y z^2, y^3 - x z^2, z^3)$
+ En funktion af formen $bold(r): [0, 10] -> RR^3, quad bold(r)(t) = (cos(t), sin(t), t)$

#note-box(title: "Python kommandoer")[
  Følgende kan være nyttige: `dtuplot.plot3d`, `dtuplot.plot_vector`, `dtuplot.plot3d_parametric_line`.
]

#solution[

]

=== 6: Evaluering af et Neuralt Netværk

Betragt et simpelt "shallow" neuralt netværk $bold(Phi): RR^2 -> RR$ med ét skjult lag ($L = 2$). Netværket er defineret ved parametrene:

$
  A_1 = mat(2, 0; -1, 1), quad bold(b)_1 = vec(-1, 0), quad A_2 = mat(-1, 2), quad b_2 = 0
$

hvor aktiveringsfunktionen i det *skjulte lag* er ReLU-funktionen, $bold(sigma)(bold(z)) = "ReLU"(bold(z))$, men aktiveringsfunktionen i det *sidste lag* er identitetsafbildningen $bold(sigma)(bold(z)) = bold(z)$. Netværksfunktionen er altså givet ved:

$
  bold(Phi)(bold(x)) = A_2 "ReLU"(A_1 bold(x) + bold(b)_1) + b_2
$

==== Spørgsmål a

Beregn værdien af netværket i punktet $bold(x) = vec(0.5, 1)$.

#solution[
$
mat(-1,2) dot "ReLU"(mat(2,0;-1,1) dot vec(0.5,1)+vec(-1,0)) = \
mat(-1,2) dot "ReLU"(vec(1,0.5)+vec(-1,0)) = \
mat(-1,2) dot "ReLU"(vec(0,0.5)) =\
mat(-1,2) dot vec(0,0.5) = -1 dot 0 + 2 dot 0.5 = 1\
$
$Phi(vec(0.5,1))=1$
]

==== Spørgsmål b

Find et punkt $bold(x)$, hvor netværkets output $bold(Phi)(bold(x))$ er negativt. Begrund dit svar.

#solution[
Punkt $vec(1,1)$ giver:
$
mat(2,0;-1,1) dot vec(1,1)+vec(-1,0) =\
vec(2,0) + vec(-1,0) = vec(1,0)\
"ReLU"(vec(1,0)) = vec(1,0) =\
mat(-1,2) dot vec(1,0) = -1 dot 1 + 2 dot 0 = -1
$
]

==== Spørgsmål c

Hvor mange justerbare parametre (vægte og bias-værdier) har dette netværk totalt?

#solution[
Tæller antal værdier i dens parametre: 9

]

==== Spørgsmål d

Vi erstatter nu aktiveringsfunktionen (ReLU) med en "hard limiter" funktion (en variant af signum-funktionen), som vi kalder $sigma_("step")$.

Som *skalar*-funktion $sigma_("step"): RR -> RR$ er den defineret ved:

$
  sigma_("step")(x) = cases(1 quad & "hvis" x >= 0, -1 quad & "hvis" x < 0)
$

Som *vektorfunktion* $bold(sigma)_("step"): RR^n -> RR^n$ defineres den ved at anvende skalarfunktionen på hver koordinat:

$
  bold(sigma)_("step")(bold(z)) = vec(sigma_("step")(z_1), dots.v, sigma_("step")(z_n))
$

Betragt nu netværket med denne nye aktiveringsfunktion: $bold(Phi)(bold(x)) = A_2 bold(sigma)_("step")(A_1 bold(x) + bold(b)_1) + b_2$.

Angiv den delmængde af definitionsmængden, hvor netværksfunktionen $bold(Phi)(bold(x))$ er *diskontinuert*.

#solution[

]

=== 7: Visualisering af Netværket

I denne opgave skal du bruge Python til at visualisere funktionen $bold(Phi)(bold(x))$ fra forrige opgave (med ReLU som aktiveringsfunktion).

Du skal plotte grafen for netværket over området $x_1, x_2 in [-2, 2]$.

#note-box[
  Læg mærke til, at grafen består af plane flader, der er "knækket" og sat sammen. Dette skyldes ReLU-funktionen, som er stykkevis lineær. I store netværk der anvendes i praksis sættes millioner af sådanne lineære underrum sammen.
]

Kan du plotte grafen af det samme neurale netværk hvor $bold(sigma)_("step")$ bruges i stedet for ReLU? Planerne i den nye graf bør ikke "hænge sammen" (hvorfor?).

#solution[

]

=== 8: Lineær vektorfunktion

Lad $A in bold(M)_(3 times 5)(RR)$ være givet ved

$
  A = mat(
    1, 0, 2, 3, 4;
    0, -1, 5, 6, 7;
    0, 0, -3, 8, 9
  )
$

Betragt vektorfunktionen $bold(f): RR^5 -> RR^3$ givet ved $bold(f) = bold(x) |-> A bold(x)$, hvor $bold(x)$ er en søjlevektor i $RR^5$.

==== Spørgsmål a

Angiv de 3 koordinatfunktioner for $bold(f)$.

#solution[

]

==== Spørgsmål b

Angiv billedmængden $"im"(bold(f))$ for $bold(f)$.

#solution[

]

==== Spørgsmål c

Er vektorfunktionen $bold(f)$ surjektiv og/eller injektiv?

#solution[

]

=== 9: Næste primtal-funktion (frivillig)

#note-box[Dette er en valgfri ekstraopgave.]

Lad $f: NN -> NN$ være en funktion, der returnerer det næste primtal (strengt) større end et givet naturligt tal $n$. I denne opgave skal du først vurdere værdien af funktionen for to specifikke input og derefter vise, at funktionen er veldefineret, før du implementerer den i Python.

==== Spørgsmål a

Find ved simple overvejelser $f(10)$ og $f(13)$.

#solution[

]

==== Spørgsmål b

Argumenter for, at funktionen $f(n)$ er veldefineret.

#solution[

]

==== Spørgsmål c

Kan man finde et funktionsudtryk for $f(n)$? Argumenter for, hvorfor det er eller ikke er muligt.

#solution[

]

==== Spørgsmål d

Implementer funktionen $f(n)$ i Python, som tager et heltal $n$ som input og returnerer det næste primtal større end $n$. Definer en hjælpefunktion `er_primtal(x)` til at afgøre, om et tal er primtal.

#solution[

]

==== Spørgsmål e

Kan du opdatere din Python-funktion fra forrige opgave, så $f$'s definitionsmængde udvides fra $NN$ til $RR$?

#solution[

]

#pagebreak()

== Opgaver -- Lille Dag

=== 1: Størrelse af vektorer

Betragt følgende tre vektorer i $RR^3$:

$
  bold(v)_1 = vec(-10, -10, -10), quad
  bold(v)_2 = vec(-10, -4, 14), quad
  bold(v)_3 = vec(-10, -8, -12)
$

Hvilken vektor er længst? Hvilke vektorer er ortogonale på hinanden? Hvilke to vektorer er tættest på hinanden?

#note-box[
  Vi kan forestille os vektorerne som (geometriske) stedvektorer med begyndelsespunkt i $bold(0) = [0, 0, 0]^T$ og slutpunkt $bold(v)_i$ for hhv $i = 1, 2, 3$. Under tiden skriver man dette som $arrow(bold(0) bold(v)_i)$.
]

#solution[

]

=== 2: Partielle afledede af simpel skalar-funktion

Find de partielle afledte $p d v(f, x_1)$ og $p d v(f, x_2)$ for $f(x_1, x_2) = x_1^3 + 3 x_1 x_2 + x_2^3$. Bestem værdien af de partielle afledte i punktet $(x_1, x_2) = (1, 2)$.

#solution[

]

=== 3: Forskellige(?) kvadratiske former

Lad $bold(x) = [x_1, x_2]^T$ være en søjlevektor i $RR^2$. Definer:

$
  A_1 = mat(11, -12; -12, 4), quad
  A_2 = mat(11, 0; -24, 4), quad
  A_3 = mat(73/5, -36/5; -36/5, 52/5)
$

og

$
  bold(b)_1 = vec(-20, 40), quad
  bold(b)_2 = bold(b)_1, quad
  bold(b)_3 = vec(-44, 8), quad
  c = -60
$

Lad $q_i: RR^2 -> RR$ være givet ved:

$
  q_i (bold(x)) = bold(x)^T A_i bold(x) + bold(b)_i^T bold(x) + c
$

for $i = 1, 2, 3$. Sådanne funktioner kaldes kvadratiske former.

==== Spørgsmål a

Gang udtrykket for $q_1(x_1, x_2)$ ud. Først i hånden, så ved hjælp af Python. Gang også udtrykkene for $q_2(x_1, x_2)$ og $q_3(x_1, x_2)$ (i hånden eller Python) ud.

#solution[

]

==== Spørgsmål b

Er den kvadratiske matrix $A$ i en kvadratisk form (som fx $bold(x)^T A bold(x)$) entydig givet?

#solution[

]

==== Spørgsmål c

Plot grafen af funktionen $q_1$. Plot så nogle niveaukurver. Hvilken geometrisk form har niveaukurverne? Gør det samme for $q_3$.

#solution[

]

==== Spørgsmål d

En af funktionerne har et minimum. Hvilken? Hvor ligger det cirka? Hvad kaldes det samme punkt for de funktioner der ikke har et minimum?

#solution[

]

=== 4: Softmax-funktionen

I denne opgave ser vi på *softmax*-funktionen.

==== Spørgsmål a

Beregn *softmax* af følgende tre vektorer i $RR^3$. Du kan gøre det ved håndkraft (brug lommeregner til eksponentialfunktionen) eller ved hjælp af Python. Angiv svarene med ca. 3 decimaler.

+ $bold(x)_1 = [1, 2, -5]^T$
+ $bold(x)_2 = [10, 2, -5]^T$
+ $bold(x)_3 = [100, 2, -5]^T$

#solution[

]

==== Spørgsmål b

Hvad observerer du, når forskellen mellem den største værdi i inputtet og de andre værdier øges (som i skiftet fra $bold(x)_1$ til $bold(x)_2$ og $bold(x)_3$)? Hvorfor kaldes funktionen mon "soft"-max?

#solution[

]

==== Spørgsmål c

Er *softmax*-funktionen kontinuert?

#solution[

]

==== Spørgsmål d

Betragt *softmax* som en afbildning fra $RR^n$ til $RR^n$. Er funktionen *injektiv* (en-til-en)?

Er funktionen *surjektiv* (på) i forhold til dispositionsmængde $RR^n$?

#solution[

]

=== 5: Kvadratiske former med symmetriske matricer

Lad $A$ være en vilkårlig $n times n$ matrix, og lad $bold(x)$ være en søjlevektor i $RR^n$. Definer $B$ ved $B = (A + A^T) / 2$.

==== Spørgsmål a

Vis at matricen $B$ er symmetrisk.

#solution[

]

==== Spørgsmål b

Vis at $bold(x)^T A bold(x) = bold(x)^T B bold(x)$.

#solution[

]

==== Spørgsmål c

Konkludér at man altid kan antage at kvadratiske former af formen $q(bold(x)) = bold(x)^T A bold(x) + bold(b)^T bold(x) + c$ er givet ved en *symmetrisk* matrix $A$.

#solution[

]