#import "@local/dtu-template:0.5.1":*

#show: dtu-math-assignment.with(
  course: "01001",
  course-name: "Mathematics 1a (Polytechnical Foundation)",
  title: "Mat1a gennemgang",
  due-date: datetime(day: 30, month: 11, year: 2025),
  author: "Rasmus Rosendahl-Kaa (S255955)",
  semester: "2025 Fall",
)

#set math.mat(delim: "[")
#set math.vec(delim: "[")

= Udsagnslogik
#important()[Til eksamen: husk sandhedstabeller]

#table(columns: 7)[$P$][$Q$][$P and Q$][$P or Q$][$not P$][$P => Q$][$P arrow.l.r.double Q$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$T$]

Ved $P=>Q$ så hvis $P$ er falsk, så vil $P=>Q$ altid være sand. Hvis $P$ er sand, skal $Q$ også være sand.

#example()[
$(P  or Q or R) => Q$\
Opskriv sandhedstabel
#table(columns: 5)[$P$][$Q$][$R$][$P or Q or R$][$(P or Q or R) => Q$][$T$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$F$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$T$][$F$][$T$][$F$][$T$][$T$][$T$][$F$][$F$][$T$][$F$][$F$][$F$][$F$][$F$][$T$]
]

$(P or Q) or R <=> P or (Q or R)$

= Mængder
Samling af elementer.

Kan være f.eks.:
$
{1,2,3,dots}\
{a in RR|P(a) "er sandt"}
$

Man kan tegne mængderne grafisk.

*Fællesmængder:*\
$A inter B$\
Hvad der er i både $A$ #underline[og] $B$
$ A inter B = {a | a in A and a in B} $

*Foreningsmængde:*\
$A union B$\
Hvad der er i enten $A$ #underline[eller] $B$
$ A union B = {a | a in A or a in B} $

*Differens:*\
$A slash B$\
Hvad der er i $A$ #underline[men ikke] $B$
$ A slash B = {a|a in A and a in.not B} $

#example()[
Tre mængder $A,B,C$.

Find følgende: $(A union B) inter C$

Hvad der er i $A$ eller $B$, og den del af det, som også er i $C$.

For opgaven:
$
A = {0,1,2}\ B={1,2,3}\ C={3,4,5}
$
$
A inter B = "hvad der er i" A "eller" B "så tal fra 0-3"\
(A inter B) union C = "Hvad der er i både tal fra 0-3 og i" 3,4,5 "så 3"\
(A inter B) union C) = {3}
$
]
= Funktioner
Hvad er en funktion? Kan kaldes en matematisk process, som tager et element fra en mængde, og afbilder over på et element i en anden mængde.

#image("funktion.png", width: 50%)

$ f: A &arrow B\ a &|-> f(a) $

*Værdimængden:*\
$V m(f), f(A)$\
Værdimængden er alle værdier $f(a)$ kan blive (alle elementer, der bliver ramt i dispositionsmængden)\
$V m(f) subset.eq B$

#example()[
$
f: RR &arrow RR\
x &|-> x^2
$
#image("funktion-eksempel.png",width: 50%)
]


== Inkektive, surjektive og bijektive funktioner
#image("injektiv-surjektiv-bijektiv.png",width: 50%)
=== Injektiv
Alle elementer i dispositionsmængden må kun rammes én gang. Dispositionsmængden her kan være større en værdimængden
=== Surjektiv
Alle elementer i dispositionsmængden #underline[skal] rammes. Elementerne i dispositionsmængden må gerne rammes flere gange.
=== Bijektiv
En funktion, der både er injektiv og surjektiv. Dvs. alle elementer i definitionsmængden skal pege på ét element i dispositionsmængden, og ét unikt element.

Notér her at hvis man tager den inverse funktion (hvor man vender pilen om), vil den inverse funktion stadig være bijektiv. Det gælder kun for bijektive funktioner, og ikke de andre.

=== Inverse funktion
$
f: A &arrow B\
a &|-> f(a)\

f^(-1) slash g: B &arrow A\
f(a) &|-> a
$
$
f compose f^(-1) &= f(f^(-1)(x)) = f(g(x)) = id_B\
f^(-1) compose f &= f^(-1)(f(x)) = g(f(x)) = id_A
$

#lemma(name: "2.2.2")[
En funktion har en invers hvis og kun hvis den er bijektiv

For inverse funktioner gælder ($f(x)$ er funktion, $g(x)$ er dens inverse):
$
f(g(x))&=id_(RR)\
g(f(x))&=id_(RR)
$
]

#example()[
$
f: RR &arrow RR\
x &|->3x-7
$
Find en invers funktion $f^(-1)$
#solution()[
Opstil funktion: $f(x)=3x-7$

Byt om på $x$ og $y$ ($f(x)$)
$
f(x)&=3x-7\
x&=3y-7 <=>\
y&=(x+7)/3=g(x)
$
$
f(g(x))=x((x+7)/3)-7=x\
g(f(x))=((3x-7)+7)/3=x

$
]
]


#example()[
$ f: RR &arrow RR\
x &|-> x^2
$
#solution()[
Er ikke injektiv da f.eks. $f(-1)$ og $f(1)$ giver det samme\
Er heller ikke surjektiv da der ikke fås nogle negative værdier.
]
Hvad med
$
g: RR_(>=0) &arrow RR\
x &|-> x^2
$
#solution()[
Er Injektiv, da x kun må være positiv, og der er ikke 2 positive x-værdier, hvis $x^2$ giver det samme
]

Hvad med

$ h: RR &arrow RR_(>=0)\
x &|-> x^2
$
#solution()[
Er surjektiv, da alle positive tal bliver ramt, og du i dispositionsmængden ikke længere har de negative. Er ikke injektiv da du stadig har at $f(-1)=f(1)=1$
]

Hvad med
$ k: RR_(>=0) &arrow RR_(>=0)\
x &|-> x^2
$
#solution()[
Er bijektiv, på grund af det samme som de to sidste to eksempler sat sammen.

Derfor findes $k^(-1)$
$
k^(-1): RR_(>=0) &arrow RR_(>=0)\
x &|-> sqrt(x)
$
]
]

#note-box()[
For $sqrt(x)$ definerer vi kun svaret som det positive.

Men for $x^2=4$ defineres $plus.minus 2$ som svaret.
]

#example()[
$
f(x)=e^(2x)\
x=e^(2y)\
ln(x)=ln(e^(2y))\
ln(x)=2y\
y=ln(x)/2
$
#note-box()[
For inverse funktioner, skal man huske at sørge for, at $f compose f^(-1)$ skal give $id_A$ og $f^(-1) compose f = id_B$
]
]
== Identitetsfunktionen
$
id: A &arrow A\
x &|-> x
$
Funktionen, der basically ikke gør noget.

== Sammensatte funktioner
$
f:A arrow B "      " g: B arrow C
$

$ f compose g: A arrow C\
f compose g = f(g(x))
$

= Komplekse tal

= Polynomier
= Matricer