#import "@local/dtu-template:0.6.2":*

#show: dtu-physics-note.with(
    course: "10060",
    author: "Rasmus Rosendahl-Kaa",
    course-name: "Physics",
    title: "Kinematics 2D",
    date: datetime(year: 2026, month: 02, day: 09),
    semester: "Spring 2026"
)

= Hastighedsvektor i flere dimensioner
Laver en positionsvektor
$
arrow(r)(t)=vec(x(t), y(t), z(t))
$

For at finde ændring i position:
$
Delta r = r_2 - r_1
$

Gennemsnitlig hastighedsvektor:
$
arrow(v)_("av") = (Delta r)/(Delta t) = (r_2 - r_1)/(t_2 - t_1)
$

== Instantan hastighedsvektor
$
arrow(v) = vec( (d x(t))/( d t), (d y(t))/( d t), (d z(t))/( d t) ) = vec(v_x, v_y, v_z) = vec(x'(t), y'(t), z'(t))
$

Fart:
$
|arrow(v)| = sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)
$

== Komponenter af hastighedsvektor
Hvis du har vinkel for hastighedsvektor og hastighedsvektoren, så kan du få $v_x (t), v_y (t)$:
$
v_x = v(t) dot cos(alpha)\
v_y = v(t) dot sin(alpha)
$
Fart:
$
|arrow(v)| = sqrt(v_x^2 + v_y^2)
$
Finde vinkel/retning:
$
tan(alpha) = v_y/v_x\
alpha = arctan(v_y/v_x)
$

= Accelerationsvektor
Er en ændring i hastighedsvektor
$
Delta arrow(v) = arrow(v_2) - arrow(v_1)
$
Gennemsnitlig acceleration
$
arrow(a)_("av") = (Delta arrow(v))/(Delta t)
$

== Instantan accelerationsvektor
Når $Delta t -> 0$:

$
arrow(a)=(d arrow(v))/(d t) = vec((d v_x)/(d t), (d v_y)/(d t), (d v_z)/(d t)) = vec(a_x, a_y, a_z)
$

== Parallel og vinkelret komponent af accelerationsvektor
Kan finde komponenterne af accelerationsvektor

Tangentiel $a_||$: ændring i $|arrow(v)|$

Radiel $a_perp$: ændring af $arrow(v)$

= Projektilbevægelse
Sker kun i to retninger: x og y.

Er nogle forudsætninger:
/ 1): Kun tyngdekraft. Dvs. ingen luftmodstand
/ 2): Punktformet partikel

Vil finde $(x(t), y(t))$

#note-box(title: "Fra forlæsning 1")[
Formler for bevægelse med konstant acceleration i én dimension:
$
v = v_0 + a t\
x = x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2
$
]

*Acceleration:* (er konstant i tid):
$
a_x = 0\
a_y = -g\
$

*Hastighed:*
$
v_x = v_(0x) = |arrow(v)_0| dot cos(alpha_0)\
v_y = v_(0y) - g dot t = |arrow(v)_0| dot sin(alpha_0) - g dot t
$

*Position:*
$
x(t)=x_0 + v_(0x) dot t "(er lineær i tid)"\
y(t)=y_0 + v_(0y) dot t - 1/2 g t^2 "(er kvadratisk i tid)"
$

== Banekurve
Vil gerne finde $y(x)$ (y, som er afhængig af x).\
Antager: $x_0 = y_0 = 0$

$
x(t) = v_0 cos(alpha_0) dot t\
y(t) = v_0 sin(alpha_0) dot t - 1/2 g dot t^2
$

Isolér $t$ i $x(t)$ og sæt ind i $y(t)$:
$
t &= x/(v_0 cos(alpha_0))\
y(t) &= (v_0 sin(alpha_0) dot x)/(v_0 cos(alpha_0)) - 1/2 g dot (x/(v_0 cos(alpha_0)))^2\
&=tan(alpha_0) dot x - g/(2 v_0^2 cos^2 (alpha_0)) dot x^2
$

Der *skal* startes i 0 før ligningen gælder, men der behøves ikke at ende i 0.

#example()[
2 lande er i krig: Det ene land beskyder det andet land med et missil. Missilet skal rejse $L=30 "km"$ for at ramme målet og holde sig under $h=1 "km"$ højde for ikke at blive skudt ned.

/ a): Hvad er hastigheden på missilet? Og hvad er affyringsvinklen?
/ b): Hvor lang tid er missilet undervejs?

#solution()[
Højeste punkt:
$
h = y = (v_0 dot sin(theta))^2/(2 g) <=> v_0 = sqrt((h dot 2 g)/(sin^2 (theta)))
$
Længde:
$
L = x = (v_0^2 dot sin(2 theta))/g = (h 2 g sin(2 theta))/(g sin^2 (theta)) = (2 dot 2 h cos(theta))/(sin(theta))\
<=> (sin(theta))/(cos(theta)) = (2 h)/L <=> tan(theta) = (2 dot 2 h)/L\
theta = arctan((2 dot 2 h)/L) = arctan((4 dot 1000 m)/(30 dot 1000 m)) = 0.13 "rad" approx 7.59^degree
$
$
v_0 = sqrt((h dot 2 g)/(sin^2 (theta))) = sqrt((1000 m dot 2 dot 9.8 m/s^2)/(sin^2 (0.13 "rad"))) = 1059 m/s approx 3813 (k m)/t
$

$
T_("tot") = (2 dot v_0 dot sin(theta))/g = (2 dot 1059 m/s dot sin(0.13 "rad"))/(9.8 m/s^2) = 28 s
$
]
]


#example()[
2 lande er I krig: Det ene land beskyder det andet land fra et bjerg på 500 m med et missil. Missilet skal rejse
L=30 km for at ramme målet og holde sig under h=1 km højde for ikke at blive skudt ned.

/ a): Hvad er hastigheden på missile ? Og hvad er affyrings vinklen?
/ b): Hvor lang tid er missile undervejs?

#solution()[
Opskriv ligninger
$
x(t)=v_(0x) dot t\
y(t) = (v_0y) dot t - 1/2 g t^2 + 500 m\
v_x = v_(0x)\
v_y = v_(0y) - g t
$

Lad T være tidspunktet for impakt:

$
x(t = T) = L = v_(0x) dot T\
y(t = T) = 0 = v_(0y) dot T - 1/2 g T^2
$

Lad $t^*$ være når missilet når toppunktet:
$
v_x (t^*) = v_(0x)\
v_y (t^*) = 0 = v_(0y) dot t^*
$

$
v_(0y)/v_(0x) = (v_0 sin(theta))/(v_0 cos(theta)) <=> tan(theta) = v_(0y)/v_(0x)
$

Har 5 ligninger med 5 ubekendte. Brug Python/Maple til at udregne og finde de ubekendte.
]
]


= Cirkulær bevægelse med konstant fart
Dvs. $|arrow(v)|$ er konstant. Accelerationen vender indad mod orego.

$|arrow(a)_("rad")| = v^2/r$

$v = ("omkreds")/("omløbstid") = (2 pi r)/T$

$
a_("rad") = ((2 pi r)/T)^2/r = (4 pi^2 dot r^2)/(T^2 dot r) = (4 pi^2 dot r)/T^2
$

= Cirkulær bevægelse med ikke-konstant fart
$
a_("rad") = v^2/r\
a_("tan") = (d dot |v|)/(d t)
$

Obs $(d |v|)/(d t) eq.not |(d v)/(d t)|$. Det er forskellen i fart, ikke forskellen i hastighed.


$
(d arrow(v))/(d t) = arrow(a)_("total")\
|(d v)/(d t)| = |a_("total")|
$

#example()[
En centrifuge har en konstant tangential acceleration på $a_t = 8 m/s^2$ i 15 s hvorefter den opnår centrifuge hastigheden.

/ a): Hvad er denne hastighed?
/ b): Hvor mange omdrejninger per minut (rpm) har centrifugen efter accelerationen?

#solution()[
/ a):
$(d |v|)/(d t) = a_t$
$
v(t) &= integral a_t d t = integral_0^(15 s) a_t d t = [a_t dot t]_0^(15 s)\
&= 8 m/s^2 dot 15 s = 120 m/s
$
/ b):
Find omkreds:
$
0 = 2 pi dot r = 2 pi dot 0.3 m = 1.8 m\
"rpm" = (120 m/s)/(1.8 m) = 56.5 "rps" dot 60 = 3400 "rpm"
$

]
]

= Relativ hastighed i to dimensioner

#image("Billeder/Relativ-hastighed.png", width: 50%)

$
arrow(v)_(F|J) = arrow(v)_(F|L) + arrow(v)_(L|J)\

$


#example()[
#image("Billeder/Relativ-hastighed-eksempel.png")

#solution()[
$
sin(beta) = "Modstående katete"/"Hypotenusen"\
= |v_(L|J)|
$
]
]