#import("@local/dtu-template:0.5.1"):*


#set math.vec(delim: "[")
#set math.mat(delim: "[")


#show: dtu-note.with(
  title: "Andenordens lineære differentialligninger - OPGAVER",
  date: datetime(year: 2025, month: 12, day: 02),
  author: "Rasmus Rosendahl-kaa",
  semester: "Spring 2025"
)

= Opgave 1
Er følgende differentialligninger og systemer af differentialligninger
homogene eller inhomogene?

+ $f'' (t) = f' (t) - 2 f (t)$.

+ $f' (t) - t dot.op f (t) - e^(- 3 t) = 0$.

+ $mat(delim: "[", f'_1 (t); f'_2 (t)) = mat(delim: "[", 4, 6; - 2, 7) dot.op mat(delim: "[", f_1 (t); f_2 (t)) + mat(delim: "[", 1; 1) .$

+ ${f'_1 (t) & = & f_2 (t)\
  f'_2 (t) & = & f_1 (t) - f_2 (t)\
  $

#solution()[
]
= Opgave 2
Givet den homogene reelle differentialligning

$ f''(t)+3f'(t)-4f(t)=0 $
Find dens fuldstændige løsning.
#note-box()[
Find først rødderne i ligningens karakteristiske polynomium.
Se Afsnit 13.3 fra lærebogen for flere oplysninger og eksempler.]
#solution()[

]

= Opgave 3
Givet følgende homogene reelle differentialligninger. Find deres
fuldstændige løsning.

+ $ f'' (t) - 6 f' (t) + 9 f (t) = 0 . $

+ $ f'' (t) + 2 f' (t) + 5 f (t) = 0 . $

#note-box()[
Alt afhængig af om det karakteristiske polynomium har to reelle rødder, to ikke-reelle rødder eller en dobbeltrod, skal man bruge Scenarie 1, Scenarie 2, Scenarie 3 på sider 262 og 263 i Afsnit 13.3 fra lærebogen.
]

#solution()[

]
= Opgave 4
Givet den inhomogene differentialligning

$ f'' (t) - 6 f' (t) + 9 f (t) = e^(2 t) . $
== Opgave 4a
Bestem et reelt tal $a$ således at funktionen $f (t) = a dot.op e^(2 t)$
er en partikulær løsning til den givne differentialligning.
#note-box()[
Indsæt funktionen $f(t)=a dot e^(2t)$ i differentialligningen.  Hvilken ligning skal $a$ opfylde for at funktionen er en løsning til differentialligningen?
]

#solution()[

]
== Opgave 4b
Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene
differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene
differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 3.
#note-box()[
Den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning $f''(t)-6f'(t)+9f(t)=0$ blev fundet i Opgave 3 til at være
]

#solution()[

]
= Opgave 5
En lineær andenordens differentialligning med konstante koefficienter kan omskrives til et system af førsteordens differentialligninger (se Afsnit 13.3 fra lærebogen).
I denne opgave betragtes et eksempel.
== Opgave 5a
Givet differentialligningen $f''(t)+2f'(t)+f(t)=cos(t)$.
Omskriv denne differentialligning til et system af to førsteordensdifferentialligninger i funktionerne $f_1(t)$ og $f_2(t)$, hvor $f_1(t)=f(t)$ og $f_2(t)=f'(t)$.

#solution()[

]
== Opgave 5b
Tjek at Ligning (13.13) i Sætning 13.3.1 fra lærebogen ville have givet
det samme system.

#solution()[

]
= Opgave 6
Givet den inhomogene differentialligning

$ f'' (t) + 3 f' (t) - 4 f (t) = e^t . $
== Opgave 6a
Inspireret af Opgave 4, kunne man håbe at der findes et reelt tal $a$ således at $f (t) = a dot e^t$ er en partikulær løsning til den givne differentialligning. Vis at der faktisk ikke findes nogen funktion på formen $f (t) = a dot e^t$, som er en løsning. Hvad er problemet?

#solution()[

]
== Opgave 6b
Prøv nu at finde en partikulær løsning på formen
$f (t) = a dot.op t dot.op e^t$. Tjek eventuelt først at
$(t dot.op e^t)' = e^t + t dot.op e^t$ og
$(t dot.op e^t)'' = 2 e^t + t dot.op e^t$.

#solution()[

]
== Opgave 6c
Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene
differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene
differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 2.

#note-box()[
Den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning $f''(t)+3f'(t)-4f(t)=0$ blev fundet i Opgave 2 til at være $f(t)=c_1 dot e^t+c_2 dot e^(-4t), quad c_1,c_2 in RR.$
]

#solution()[

]
= Opgave 7
Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en homogen lineær andenordens differentialligning med konstante reelle koefficienter er

$ f(t)=c_1e^(-t)cos(2t)+c_2e^(-t) sin(2t), quad c_1,c_2 in RR $

Opskriv differentialligningen.

#note-box()[
Fordi $0$ er en løsning (sæt $c_1=0$ og $c_2=0$ i den fuldstændige løsning), er differentialligningen man leder efter en homogen differentialligning. Differentialligningen kan derfor skrives på formen $f''(t)+a_1 f'(t)+a_0 f(t)=0$ for visse reelle tal $a_0,a_1$.
]

#note-box()[
Hvilke rødder skal det karakteristiske polynomium $Z^2+a_1Z+a_0$ have?
]

#solution()[

]
= Opgave 8
Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en inhomogen lineær
andenordens differentialligning er

$ f (t) = c_1 e^(- t) cos(2 t) + c_2 e^(- t) sin(2 t) + 7 + 3 t + 5 e^t , quad c_1 , c_2 in RR. $

Opskriv differentialligningen.
#note-box()[
Hvad er den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning? Kan den tilhørende homogene differentialligning bestemmes ved hjælp af svaret til Opgave 7?
]

#note-box()[
Den tilhørende homogene differentialligning er ifølge Opgave 7 givet som $f''(t)+2f'(t)+5f(t)=0.$ Den inhomogene differentialligning der er efterspurgt i denne opgave kan derfor skrives på formen $f''(t)+2f'(t)+5f(t)=q(t).$
]
#note-box()[
$f(t)=7+3t+5e^t$ er en partikulær løsning til den ønskede differentialligning. Hvad får man hvis man indsætter denne funktion i sidstnævnte differentialligningen fra forrige hint?
]

#solution()[

]
= Opgave 9
Givet den homogene reelle differentialligning
$ f'' (t) + 3 f' (t) - 4 f (t) = 0 . $

Bemærk at differentialligningen er den samme som i Opgave 2. Målet med
opgaven er at finde løsningen til differentialligningen som opfylder
begyndelsesbetingelserne $f (0) = 1$ og $f' (0) = 2$.
== Opgave 9a
I Opgave 2 var resultatet at den givne differentialligning har den
fuldstændige løsning

$ f (t) = c_1 dot.op e^t + c_2 dot.op e^(- 4 t) , quad c_1 , c_2 in bb(R) . $

Hvilken ligning skal $c_1$ og $c_2$ opfylde for at det gælder at $f(0) = 1$?

#solution()[

]

== Opgave 9b
Hvilken ligning skal $c_1$ og $c_2$ opfylde for at det gælder at $f'(0)=2$?

#note-box()[
Ligesom i spørgsmål a, vides fra Opgave 2 at

$ f(t)=c_1 dot e^t+c_2 dot e^(−4t), quad c_1,c_2 in RR. $

Tag nu den afledte på begge sider af lighedstegnet og indsæt bagefter $t=0$.
]

#note-box()[
Udfra den fuldstændige løsning

$ f (t) = c_1 dot.op e^t + c_2 dot.op e^(- 4 t) , quad c_1 , c_2 in bb(R) $

fås ved differentiation på begge sider af lighedstegnet at:

$ f' (t) = c_1 dot.op e^t - 4 c_2 dot.op e^(- 4 t) , quad c_1 , c_2 in bb(R) . $

Brug nu sidste del af forrige hint.
]

#solution()[

]

== Opgave 9c
Find nu den løsning $f (t)$ til differentialligningen som opfylder
$f (0) = 1$ og $f' (0) = 2$.

#note-box()[
Bestem $c_1$ og $c_2$ ved at løse de to ligninger man fandt i spørgsmål a og b.
]

#solution()[

]