#import("@local/dtu-template:0.5.1"):*


#set math.vec(delim: "[")
#set math.mat(delim: "[")


#show: dtu-note.with(
  title: "Andenordens lineære differentialligninger - OPGAVER",
  date: datetime(year: 2025, month: 12, day: 02),
  author: "Rasmus Rosendahl-kaa",
  semester: "Spring 2025"
)

= Opgave 1
Er følgende differentialligninger og systemer af differentialligninger
homogene eller inhomogene?

+ $f'' (t) = f' (t) - 2 f (t)$.

+ $f' (t) - t dot.op f (t) - e^(- 3 t) = 0$.

+ $mat(delim: "[", f'_1 (t); f'_2 (t)) = mat(delim: "[", 4, 6; - 2, 7) dot.op mat(delim: "[", f_1 (t); f_2 (t)) + mat(delim: "[", 1; 1) .$

+ ${f'_1 (t) & = & f_2 (t)\
  f'_2 (t) & = & f_1 (t) - f_2 (t)\
  $

#solution()[
/ 1): Homogent da: $f''(t)-f'(t)+2f(t)=0$
/ 2): Inhomogent. $q(t)=e^(-3t)$
/ 3): Inhomogent da $q(t)=1$ (se Definition 13.2.1 i bogen)
/ 4): Homogent da:
$f'_2 (t) = f_1 (t) - f'_1 (t) <=> f''_1 (t) + f'_1 (t) - f_1 (t) = 0$
]
= Opgave 2
Givet den homogene reelle differentialligning

$ f''(t)+3f'(t)-4f(t)=0 $

Find dens fuldstændige løsning.
#note-box()[
Find først rødderne i ligningens karakteristiske polynomium.
Se Afsnit 13.3 fra lærebogen for flere oplysninger og eksempler.]
#solution()[
$
P_(bold(A))(z) = z^2 + 3z -4\
D = 3^2- 4 dot (-4) = 25\
lambda_1 = (-3 + 5)/2 = 1, lambda_2 = (-3-5)/2 = -4
$
Finder egenrummene:
$
E_(1) = ker(mat(-1,1;4,-4)) = "span"(vec(1,1))\
E_(-4) = ker(mat(4,1;4,1)) = "span"(vec(1,-4))
$
Fuldstændige løsning:
$
f(t)=c_1 dot e^(t) + c_2 dot e^(-4t), (c_1, c_2 in RR)
$
]

= Opgave 3
Givet følgende homogene reelle differentialligninger. Find deres
fuldstændige løsning.

+ $ f'' (t) - 6 f' (t) + 9 f (t) = 0 . $

+ $ f'' (t) + 2 f' (t) + 5 f (t) = 0 . $

#note-box()[
Alt afhængig af om det karakteristiske polynomium har to reelle rødder, to ikke-reelle rødder eller en dobbeltrod, skal man bruge Scenarie 1, Scenarie 2, Scenarie 3 på sider 262 og 263 i Afsnit 13.3 fra lærebogen.
]

#solution()[
Opstiller karakteristiske polynomium for dem begge
$
P_bold(A)^1 (z) = z^2 - 6z + 9\
P_bold(A)^2 (z) = z^2 +2z + 5
$
Finder $D$:
$
D_1 = (-6)^2 - 4 dot 9 = 0\
D_2 = 2^2 - 4 dot 5 = -16\
$
Finder rødder:
$
lambda_1^1 = lambda_2^1 = - (-6)/2 = 3\
$
For den første ligning er løsningen:
$
f_1 (t) = c_1 e^(3t) + c_2 t e^(3t)
$
For den anden:
$
lambda_1^2 = (-2 + i sqrt(|-16|))/2 = -1 + 2i\
lambda_2^2 = overline(lambda_1^1) = -1 -2i
$
Løsning for den anden:
$
f_2 (t) = c_1 dot e^(-t) dot cos(2t) + c_2 dot e^(-t) dot sin(2t)
$
]
= Opgave 4
Givet den inhomogene differentialligning

$ f'' (t) - 6 f' (t) + 9 f (t) = e^(2 t) . $
== Opgave 4a
Bestem et reelt tal $a$ således at funktionen $f (t) = a dot.op e^(2 t)$
er en partikulær løsning til den givne differentialligning.
#note-box()[
Indsæt funktionen $f(t)=a dot e^(2t)$ i differentialligningen.  Hvilken ligning skal $a$ opfylde for at funktionen er en løsning til differentialligningen?
]

#solution()[
Hvis $f(t)=a dot e^(2t)$ så:
$
f'(t) = 2 a e^(2t)\
f''(t) = 4 a e^(2t)
$
Indsætter dem:
$
4 a e^(2t) - 6 dot (2 a e^(2t)) + 9 a e^(2t) &= e^(2t)\
4 a e^(2t) - 12 a e^(2t) + 9 a e^(2t) &= e^(2t)\
1 a e^(2t) &= e^(2t)\
a=1
$
]
== Opgave 4b
Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene
differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene
differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 3.
#note-box()[
Den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning $f''(t)-6f'(t)+9f(t)=0$ blev fundet i Opgave 3 til at være
]

#solution()[
Homogene løsning fra før:
$
f_("hom") (t) = c_1 e^(3t) + c_2 t e^(3t)
$

$
f(t) = f_("par")(t) + f_("hom")(t) = c_1 e^(3t) + c_2 t e^(3t) + e^(2t)
$

]
= Opgave 5
En lineær andenordens differentialligning med konstante koefficienter kan omskrives til et system af førsteordens differentialligninger (se Afsnit 13.3 fra lærebogen).
I denne opgave betragtes et eksempel.
== Opgave 5a
Givet differentialligningen $f''(t)+2f'(t)+f(t)=cos(t)$.
Omskriv denne differentialligning til et system af to førsteordensdifferentialligninger i funktionerne $f_1(t)$ og $f_2(t)$, hvor $f_1(t)=f(t)$ og $f_2(t)=f'(t)$.

#solution()[
Vi ved:
$f_1 (t) = f(t), f_2 (t) = f'(t)$ og $f'_2 (t) = f''(t)$, så:
$
f'_2 (t) + 2 f_2 (t) + f_1 (t) = cos(t)
$

$
vec(f'_1 (t), f'_2 (t)) = mat(0,1;-1,-2) dot vec(f_1 (t), f_2 (t)) + vec(0,cos(t))
$
]
== Opgave 5b
Tjek at Ligning (13.13) i Sætning 13.3.1 fra lærebogen ville have givet
det samme system.

#solution()[
Hvis man kigger på Ligning (13.13) ser man, at $a_0 = 1$ og $a_1 = 2$, som kan indsættes for at få samme system.
]
= Opgave 6
Givet den inhomogene differentialligning

$ f'' (t) + 3 f' (t) - 4 f (t) = e^t . $
== Opgave 6a
Inspireret af Opgave 4, kunne man håbe at der findes et reelt tal $a$ således at $f (t) = a dot e^t$ er en partikulær løsning til den givne differentialligning. Vis at der faktisk ikke findes nogen funktion på formen $f (t) = a dot e^t$, som er en løsning. Hvad er problemet?

#solution()[
Når $f(t)= a e^t$ fås: $f'(t) = a e^(t)$ og $f''(t) = a e^(t)$. Indsættes de fås:
$
a e^t + 3a e^t - 4a e^t = e^t\
0 a e^t = e^t
$
]
== Opgave 6b
Prøv nu at finde en partikulær løsning på formen
$f (t) = a dot.op t dot.op e^t$. Tjek eventuelt først at
$(t dot.op e^t)' = e^t + t dot.op e^t$ og
$(t dot.op e^t)'' = 2 e^t + t dot.op e^t$.

#solution()[
Når $f(t)=a t e^t$ fås:
$
f'(t) = a e^t + a t e^t\
f''(t) = 2 a e^t + a t e^t
$
Indsættes de fås:
$
2 a e^t + a t e^t + 3 dot (a e^t + a t e^t) - 4 dot (a t e^t) =\
2 a e^t + a t e^t + 3 a e^t + 3 a t e^t - 4 a t e^t =\
5 a e^t = e^t\
5a = 1\
a = 1/5
$
En partikulær løsning kunne være:
$
f(t) = 1/5 dot t dot e^t
$
]
== Opgave 6c
Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene
differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene
differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 2.

#note-box()[
Den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning $f''(t)+3f'(t)-4f(t)=0$ blev fundet i Opgave 2 til at være $f(t)=c_1 dot e^t+c_2 dot e^(-4t), quad c_1,c_2 in RR.$
]

#solution()[
Homogene løsning fra før:
$
f_("hom") (t) = c_1 dot e^(t) + c_2 dot e^(-4t)

$

$
f(t) = f_("par")(t) + f_("hom")(t) = c_1 dot e^(t) + c_2 dot e^(-4t) + 1/5 t e^t
$
]
= Opgave 7
Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en homogen lineær andenordens differentialligning med konstante reelle koefficienter er

$ f(t)=c_1e^(-t)cos(2t)+c_2e^(-t) sin(2t), quad c_1,c_2 in RR $

Opskriv differentialligningen.

#note-box()[
Fordi $0$ er en løsning (sæt $c_1=0$ og $c_2=0$ i den fuldstændige løsning), er differentialligningen man leder efter en homogen differentialligning. Differentialligningen kan derfor skrives på formen $f''(t)+a_1 f'(t)+a_0 f(t)=0$ for visse reelle tal $a_0,a_1$.
]

#note-box()[
Hvilke rødder skal det karakteristiske polynomium $Z^2+a_1Z+a_0$ have?
]

#solution()[
Vi ved:
$
f(t)=c_1 dot e^(alpha t) dot cos(beta t) + c_2 dot e^(alpha t) dot sin(beta t)\
alpha = -a_1/2\
beta = sqrt(|a_1^2 - 4a_0|)/2
$
Her har vi:
$
alpha = -1\
beta = 2
$
Dvs:
$
alpha = -a_1/2 = -1\
a_1 = 2
$
$
beta = sqrt(|a_1^2 - 4a_0|)/2 = sqrt(|4 - 4a_0|)/2 = 2\
sqrt(|4 - 4a_0|) = 4\
|4-4a_0| = 16\
"da vi ved D er negativ (pga cos og sin):"\
4-4a_0 = -16\
4a_0 = 20\
a_0 = 5
$

Så differentialligningen er:
$
f''(t) + 2f'(t) + 5f(t) = 0
$
]
= Opgave 8
Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en inhomogen lineær
andenordens differentialligning er

$ f (t) = c_1 e^(- t) cos(2 t) + c_2 e^(- t) sin(2 t) + 7 + 3 t + 5 e^t , quad c_1 , c_2 in RR. $

Opskriv differentialligningen.
#note-box()[
Hvad er den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning? Kan den tilhørende homogene differentialligning bestemmes ved hjælp af svaret til Opgave 7?
]

#note-box()[
Den tilhørende homogene differentialligning er ifølge Opgave 7 givet som $f''(t)+2f'(t)+5f(t)=0.$ Den inhomogene differentialligning der er efterspurgt i denne opgave kan derfor skrives på formen $f''(t)+2f'(t)+5f(t)=q(t).$
]
#note-box()[
$f(t)=7+3t+5e^t$ er en partikulær løsning til den ønskede differentialligning. Hvad får man hvis man indsætter denne funktion i sidstnævnte differentialligningen fra forrige hint?
]

#solution()[
Vi har lige fundet differentialligningen for dens tilhørende homogene ligning:
$
f''(t) + 2f'(t) + 5f(t) = 0
$
Så mangler vi at finde hvad $q(t)$ skal være. For at finde $q(t)$ kan vi indsætte $f(t)=7+3t+5e^t$ og se hvad resultatet bliver:
Først:
$
f(t)=7+3t+5e^t\
f'(t)=3+5e^t\
f''(t)=5e^t
$
De indsættes:
$
5e^t + 2 dot (3 + 5e^t) + 5 dot (7 + 3t + 5e^t) =\
5e^t + 6 + 10e^t + 35 + 15t + 25e^t =\
40e^t+15t+41
$
Derfor må differentialligningen være:
$
f''(t) + 2f'(t) + 5f(t) = 40e^t+15t+41
$
]
= Opgave 9
Givet den homogene reelle differentialligning
$ f'' (t) + 3 f' (t) - 4 f (t) = 0 . $

Bemærk at differentialligningen er den samme som i Opgave 2. Målet med
opgaven er at finde løsningen til differentialligningen som opfylder
begyndelsesbetingelserne $f (0) = 1$ og $f' (0) = 2$.
== Opgave 9a
I Opgave 2 var resultatet at den givne differentialligning har den
fuldstændige løsning

$ f (t) = c_1 dot.op e^t + c_2 dot.op e^(- 4 t) , quad c_1 , c_2 in bb(R) . $

Hvilken ligning skal $c_1$ og $c_2$ opfylde for at det gælder at $f(0) = 1$?

#solution()[
Den skal opfylde:
$
f(0)&=c_1 dot e^0 + c_2 dot e^(0) = 1\
&= c_1 + c_2 = 1
$
]

== Opgave 9b
Hvilken ligning skal $c_1$ og $c_2$ opfylde for at det gælder at $f'(0)=2$?

#note-box()[
Ligesom i spørgsmål a, vides fra Opgave 2 at

$ f(t)=c_1 dot e^t+c_2 dot e^(−4t), quad c_1,c_2 in RR. $

Tag nu den afledte på begge sider af lighedstegnet og indsæt bagefter $t=0$.
]

#note-box()[
Udfra den fuldstændige løsning

$ f (t) = c_1 dot.op e^t + c_2 dot.op e^(- 4 t) , quad c_1 , c_2 in bb(R) $

fås ved differentiation på begge sider af lighedstegnet at:

$ f' (t) = c_1 dot.op e^t - 4 c_2 dot.op e^(- 4 t) , quad c_1 , c_2 in bb(R) . $

Brug nu sidste del af forrige hint.
]

#solution()[
Kan finde $f'(t)$ for den fuldstændige løsning:
$
f'(t) = c_1 dot e^t - 4 c_2 dot e^(-4t)
$
$
f'(0) &= c_1 dot e^0 - 4 c_2 dot e^(0) = 2\
&= c_1 - 4c_2 = 2
$
]

== Opgave 9c
Find nu den løsning $f (t)$ til differentialligningen som opfylder
$f (0) = 1$ og $f' (0) = 2$.

#note-box()[
Bestem $c_1$ og $c_2$ ved at løse de to ligninger man fandt i spørgsmål a og b.
]

#solution()[
To ligninger med to ubekendte. Isolerer $c_1$ i $c_1 - 4c_2 = 2$:
$
c_1 = 2 + 4c_2
$
Sætter ind i $c_1 + c_2 = 1$:
$
2 + 4c_2 + c_2 = 1\
5c_2 = -1\
c_2 = -1/5
$
Indsætter $c_2$ i $c_1 + c_2 = 1$:
$
c_1 - 1/5 = 1\
c_1 = 6/5
$

Indsætter $c_1 "og" c_2$:
$ f (t) = 6/5 dot e^t - 1/5 dot e^(- 4 t) $
]