Start af Matematik 1b

01002 - Matematik 1b/Funktioner 1/Funktioner1-opgaver.typ

@@ -0,0 +1,439 @@
+#import "@local/dtu-template:0.6.0":*
+#import "@preview/physica:0.9.8": *
+
+#show: dtu-note.with(
+    course: "01002",
+    author: "Rasmus Rosendahl-Kaa",
+    course-name: "Matematik 1b",
+    title: "Funktioner 1 - Opgaver",
+    date: datetime(year: 2026, month: 02, day: 03),
+    semester: "Spring 2026"
+)
+
+#set math.mat(delim: "[")
+#set math.vec(delim: "[")
+
+= Exercises
+=== 1: Funktion eller ej?
+
+Betragt følger korrespondance mellem $a$ og $b$ værdier:
+
+#align(center)[
+  #table(
+    columns: 2,
+    align: center,
+    [$a$], [$b$],
+    [1], [0],
+    [2], [1],
+    [0], [3],
+    [1], [2],
+  )
+]
+
+Vi betragter funktioner hvis definitionsmængde (domain) er en delmængde af ${0, 1, 2, 3}$ og hvis dispositionsmængde (co-domain) er ${0, 1, 2, 3}$.
+
+Vi skal bestemme om $f$ og $g$ definerer funktioner, hvis vi lader $f$ følge reglen at første søjle ($a$-værdierne) er input og anden søjle ($b$-værdierne) skal være output af funktionen $f$ og definitionsmængden er ${0, 1, 2}$; og vi lader $g$ følge reglen om at anden søjle er input og første søjle skal være output af funktionen $g$ med definitionsmængde ${0, 1, 2, 3}$.
+
+Definerer $f$ en funktion? Gør $g$? I bekræftende fald: bestem værdimængden/billedmængden (engelsk: range/image) for funktionen, og afgør om funktionen er injektiv og surjektiv.
+
+#solution[
+    $f$ er ikke en funktion, fordi $a=1$ giver to forskellige værdier.
+
+    $g$ er en funktion. Værdimængden må være $a$'s værdier, så ${0,1,2}$. $G$ er ikke surjektiv da $3$ i dispositionsmængden ikke rammes. Den er heller ikke injektiv, da $1$ rammes 2 gange i dispositionsmængden.
+]
+
+=== 2: Ens funktionsforskrifter?
+
+Vi betragter funktioner $f_i: RR -> RR$ givet ved:
+
+$
+  f_1(x) &= abs(x) \
+  f_2(x) &= cases(x quad & x > 0, -x quad & x <= 0) \
+  f_3(x) &= max(x, 0) \
+  f_4(x) &= "ReLU"(x) + "ReLU"(-x)
+$
+
+hvor $x in RR$.
+
+Nogle af funktionerne er samme funktion. Find dem alle!
+
+#solution[
+$f_1 (x)$, $f_2 (x)$ og $f_3(x)$ er ens
+]
+
+=== 3: Funktion med ukendt forskrift
+
+Betragt en funktion $f: RR -> RR$ hvorom der gælder $lim_(x -> 2) f(x) = 5$ og $f(2) = 3$. Hvad kan vi sige om $f$ i punktet $x = 2$? Vælg det korrekte svar:
+
++ Funktionen er kontinuert i punktet $x = 2$.
++ Funktionen er differentiabel i punktet $x = 2$.
++ Funktionen er diskontinuert i punktet $x = 2$.
++ Funktionen er ikke veldefineret i punktet $x = 2$.
++ Man kan ikke afgøre ovenstående, da funktionsforskriften ikke er angivet!
+
+#solution[
+Funktionen er diskontinuert i punktet $x=2$.
+]
+
+=== 4: Ikke-linearitet af ReLU
+
+Betragt ReLU-funktionen, $"ReLU": RR^n -> RR^n$. Forklar hvorfor funktionen ikke er lineær.
+
+#solution[
+    Funktionen er ikke lineær da når $x<0$ kan man ikke differentiere den.
+]
+
+=== 5: Mulige visualiseringer
+
+Diskuter om man kan visualisere nedenstående funktioner -- i givet fald plot dem med SymPy/dtumathtools:
+
++ En skalarfunktion af to variable $f: RR^2 -> RR, quad f(x_1, x_2) = sqrt(abs(x_1 x_2))$
++ En skalarfunktion af fire variable $f: RR^4 -> RR, quad f(x_1, x_2, x_3, x_4) = sqrt(abs(x_1 x_2 x_3 x_4))$
++ En kompleks skalarfunktion af to variable $f: RR^2 -> CC, quad f(x_1, x_2) = sqrt(abs(x_1 x_2)) + i cos(x_1 + x_2)$
++ Et vektorfelt i 2D $bold(f): RR^2 -> RR^2, quad bold(f)(x_1, x_2) = (-x_2 / 3, x_1 / 3)$
++ Et vektorfelt i 3D $bold(f): RR^3 -> RR^3, quad bold(f)(x, y, z) = (x^3 + y z^2, y^3 - x z^2, z^3)$
++ En funktion af formen $bold(r): [0, 10] -> RR^3, quad bold(r)(t) = (cos(t), sin(t), t)$
+
+#note-box(title: "Python kommandoer")[
+  Følgende kan være nyttige: `dtuplot.plot3d`, `dtuplot.plot_vector`, `dtuplot.plot3d_parametric_line`.
+]
+
+#solution[
+
+]
+
+=== 6: Evaluering af et Neuralt Netværk
+
+Betragt et simpelt "shallow" neuralt netværk $bold(Phi): RR^2 -> RR$ med ét skjult lag ($L = 2$). Netværket er defineret ved parametrene:
+
+$
+  A_1 = mat(2, 0; -1, 1), quad bold(b)_1 = vec(-1, 0), quad A_2 = mat(-1, 2), quad b_2 = 0
+$
+
+hvor aktiveringsfunktionen i det *skjulte lag* er ReLU-funktionen, $bold(sigma)(bold(z)) = "ReLU"(bold(z))$, men aktiveringsfunktionen i det *sidste lag* er identitetsafbildningen $bold(sigma)(bold(z)) = bold(z)$. Netværksfunktionen er altså givet ved:
+
+$
+  bold(Phi)(bold(x)) = A_2 "ReLU"(A_1 bold(x) + bold(b)_1) + b_2
+$
+
+==== Spørgsmål a
+
+Beregn værdien af netværket i punktet $bold(x) = vec(0.5, 1)$.
+
+#solution[
+$
+mat(-1,2) dot "ReLU"(mat(2,0;-1,1) dot vec(0.5,1)+vec(-1,0)) = \
+mat(-1,2) dot "ReLU"(vec(1,0.5)+vec(-1,0)) = \
+mat(-1,2) dot "ReLU"(vec(0,0.5)) =\
+mat(-1,2) dot vec(0,0.5) = -1 dot 0 + 2 dot 0.5 = 1\
+$
+$Phi(vec(0.5,1))=1$
+]
+
+==== Spørgsmål b
+
+Find et punkt $bold(x)$, hvor netværkets output $bold(Phi)(bold(x))$ er negativt. Begrund dit svar.
+
+#solution[
+Punkt $vec(1,1)$ giver:
+$
+mat(2,0;-1,1) dot vec(1,1)+vec(-1,0) =\
+vec(2,0) + vec(-1,0) = vec(1,0)\
+"ReLU"(vec(1,0)) = vec(1,0) =\
+mat(-1,2) dot vec(1,0) = -1 dot 1 + 2 dot 0 = -1
+$
+]
+
+==== Spørgsmål c
+
+Hvor mange justerbare parametre (vægte og bias-værdier) har dette netværk totalt?
+
+#solution[
+Tæller antal værdier i dens parametre: 9
+
+]
+
+==== Spørgsmål d
+
+Vi erstatter nu aktiveringsfunktionen (ReLU) med en "hard limiter" funktion (en variant af signum-funktionen), som vi kalder $sigma_("step")$.
+
+Som *skalar*-funktion $sigma_("step"): RR -> RR$ er den defineret ved:
+
+$
+  sigma_("step")(x) = cases(1 quad & "hvis" x >= 0, -1 quad & "hvis" x < 0)
+$
+
+Som *vektorfunktion* $bold(sigma)_("step"): RR^n -> RR^n$ defineres den ved at anvende skalarfunktionen på hver koordinat:
+
+$
+  bold(sigma)_("step")(bold(z)) = vec(sigma_("step")(z_1), dots.v, sigma_("step")(z_n))
+$
+
+Betragt nu netværket med denne nye aktiveringsfunktion: $bold(Phi)(bold(x)) = A_2 bold(sigma)_("step")(A_1 bold(x) + bold(b)_1) + b_2$.
+
+Angiv den delmængde af definitionsmængden, hvor netværksfunktionen $bold(Phi)(bold(x))$ er *diskontinuert*.
+
+#solution[
+
+]
+
+=== 7: Visualisering af Netværket
+
+I denne opgave skal du bruge Python til at visualisere funktionen $bold(Phi)(bold(x))$ fra forrige opgave (med ReLU som aktiveringsfunktion).
+
+Du skal plotte grafen for netværket over området $x_1, x_2 in [-2, 2]$.
+
+#note-box[
+  Læg mærke til, at grafen består af plane flader, der er "knækket" og sat sammen. Dette skyldes ReLU-funktionen, som er stykkevis lineær. I store netværk der anvendes i praksis sættes millioner af sådanne lineære underrum sammen.
+]
+
+Kan du plotte grafen af det samme neurale netværk hvor $bold(sigma)_("step")$ bruges i stedet for ReLU? Planerne i den nye graf bør ikke "hænge sammen" (hvorfor?).
+
+#solution[
+
+]
+
+=== 8: Lineær vektorfunktion
+
+Lad $A in bold(M)_(3 times 5)(RR)$ være givet ved
+
+$
+  A = mat(
+    1, 0, 2, 3, 4;
+    0, -1, 5, 6, 7;
+    0, 0, -3, 8, 9
+  )
+$
+
+Betragt vektorfunktionen $bold(f): RR^5 -> RR^3$ givet ved $bold(f) = bold(x) |-> A bold(x)$, hvor $bold(x)$ er en søjlevektor i $RR^5$.
+
+==== Spørgsmål a
+
+Angiv de 3 koordinatfunktioner for $bold(f)$.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål b
+
+Angiv billedmængden $"im"(bold(f))$ for $bold(f)$.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål c
+
+Er vektorfunktionen $bold(f)$ surjektiv og/eller injektiv?
+
+#solution[
+
+]
+
+=== 9: Næste primtal-funktion (frivillig)
+
+#note-box[Dette er en valgfri ekstraopgave.]
+
+Lad $f: NN -> NN$ være en funktion, der returnerer det næste primtal (strengt) større end et givet naturligt tal $n$. I denne opgave skal du først vurdere værdien af funktionen for to specifikke input og derefter vise, at funktionen er veldefineret, før du implementerer den i Python.
+
+==== Spørgsmål a
+
+Find ved simple overvejelser $f(10)$ og $f(13)$.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål b
+
+Argumenter for, at funktionen $f(n)$ er veldefineret.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål c
+
+Kan man finde et funktionsudtryk for $f(n)$? Argumenter for, hvorfor det er eller ikke er muligt.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål d
+
+Implementer funktionen $f(n)$ i Python, som tager et heltal $n$ som input og returnerer det næste primtal større end $n$. Definer en hjælpefunktion `er_primtal(x)` til at afgøre, om et tal er primtal.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål e
+
+Kan du opdatere din Python-funktion fra forrige opgave, så $f$'s definitionsmængde udvides fra $NN$ til $RR$?
+
+#solution[
+
+]
+
+#pagebreak()
+
+== Opgaver -- Lille Dag
+
+=== 1: Størrelse af vektorer
+
+Betragt følgende tre vektorer i $RR^3$:
+
+$
+  bold(v)_1 = vec(-10, -10, -10), quad
+  bold(v)_2 = vec(-10, -4, 14), quad
+  bold(v)_3 = vec(-10, -8, -12)
+$
+
+Hvilken vektor er længst? Hvilke vektorer er ortogonale på hinanden? Hvilke to vektorer er tættest på hinanden?
+
+#note-box[
+  Vi kan forestille os vektorerne som (geometriske) stedvektorer med begyndelsespunkt i $bold(0) = [0, 0, 0]^T$ og slutpunkt $bold(v)_i$ for hhv $i = 1, 2, 3$. Under tiden skriver man dette som $arrow(bold(0) bold(v)_i)$.
+]
+
+#solution[
+
+]
+
+=== 2: Partielle afledede af simpel skalar-funktion
+
+Find de partielle afledte $p d v(f, x_1)$ og $p d v(f, x_2)$ for $f(x_1, x_2) = x_1^3 + 3 x_1 x_2 + x_2^3$. Bestem værdien af de partielle afledte i punktet $(x_1, x_2) = (1, 2)$.
+
+#solution[
+
+]
+
+=== 3: Forskellige(?) kvadratiske former
+
+Lad $bold(x) = [x_1, x_2]^T$ være en søjlevektor i $RR^2$. Definer:
+
+$
+  A_1 = mat(11, -12; -12, 4), quad
+  A_2 = mat(11, 0; -24, 4), quad
+  A_3 = mat(73/5, -36/5; -36/5, 52/5)
+$
+
+og
+
+$
+  bold(b)_1 = vec(-20, 40), quad
+  bold(b)_2 = bold(b)_1, quad
+  bold(b)_3 = vec(-44, 8), quad
+  c = -60
+$
+
+Lad $q_i: RR^2 -> RR$ være givet ved:
+
+$
+  q_i (bold(x)) = bold(x)^T A_i bold(x) + bold(b)_i^T bold(x) + c
+$
+
+for $i = 1, 2, 3$. Sådanne funktioner kaldes kvadratiske former.
+
+==== Spørgsmål a
+
+Gang udtrykket for $q_1(x_1, x_2)$ ud. Først i hånden, så ved hjælp af Python. Gang også udtrykkene for $q_2(x_1, x_2)$ og $q_3(x_1, x_2)$ (i hånden eller Python) ud.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål b
+
+Er den kvadratiske matrix $A$ i en kvadratisk form (som fx $bold(x)^T A bold(x)$) entydig givet?
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål c
+
+Plot grafen af funktionen $q_1$. Plot så nogle niveaukurver. Hvilken geometrisk form har niveaukurverne? Gør det samme for $q_3$.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål d
+
+En af funktionerne har et minimum. Hvilken? Hvor ligger det cirka? Hvad kaldes det samme punkt for de funktioner der ikke har et minimum?
+
+#solution[
+
+]
+
+=== 4: Softmax-funktionen
+
+I denne opgave ser vi på *softmax*-funktionen.
+
+==== Spørgsmål a
+
+Beregn *softmax* af følgende tre vektorer i $RR^3$. Du kan gøre det ved håndkraft (brug lommeregner til eksponentialfunktionen) eller ved hjælp af Python. Angiv svarene med ca. 3 decimaler.
+
++ $bold(x)_1 = [1, 2, -5]^T$
++ $bold(x)_2 = [10, 2, -5]^T$
++ $bold(x)_3 = [100, 2, -5]^T$
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål b
+
+Hvad observerer du, når forskellen mellem den største værdi i inputtet og de andre værdier øges (som i skiftet fra $bold(x)_1$ til $bold(x)_2$ og $bold(x)_3$)? Hvorfor kaldes funktionen mon "soft"-max?
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål c
+
+Er *softmax*-funktionen kontinuert?
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål d
+
+Betragt *softmax* som en afbildning fra $RR^n$ til $RR^n$. Er funktionen *injektiv* (en-til-en)?
+
+Er funktionen *surjektiv* (på) i forhold til dispositionsmængde $RR^n$?
+
+#solution[
+
+]
+
+=== 5: Kvadratiske former med symmetriske matricer
+
+Lad $A$ være en vilkårlig $n times n$ matrix, og lad $bold(x)$ være en søjlevektor i $RR^n$. Definer $B$ ved $B = (A + A^T) / 2$.
+
+==== Spørgsmål a
+
+Vis at matricen $B$ er symmetrisk.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål b
+
+Vis at $bold(x)^T A bold(x) = bold(x)^T B bold(x)$.
+
+#solution[
+
+]
+
+==== Spørgsmål c
+
+Konkludér at man altid kan antage at kvadratiske former af formen $q(bold(x)) = bold(x)^T A bold(x) + bold(b)^T bold(x) + c$ er givet ved en *symmetrisk* matrix $A$.
+
+#solution[
+
+]

01002 - Matematik 1b/Funktioner 1/Funktioner1.ipynb

@@ -0,0 +1,50 @@
+{
+ "cells": [
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 11,
+   "id": "d2493461",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "2\n",
+      "2\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import sympy\n",
+    "\n",
+    "x = sympy.symbols('x')\n",
+    "h = 2\n",
+    "relu = sympy.Max(0, h) + sympy.Max(0, -h)\n",
+    "print(sympy.Max(h,0))\n",
+    "print(relu)"
+   ]
+  }
+ ],
+ "metadata": {
+  "kernelspec": {
+   "display_name": "Python 3",
+   "language": "python",
+   "name": "python3"
+  },
+  "language_info": {
+   "codemirror_mode": {
+    "name": "ipython",
+    "version": 3
+   },
+   "file_extension": ".py",
+   "mimetype": "text/x-python",
+   "name": "python",
+   "nbconvert_exporter": "python",
+   "pygments_lexer": "ipython3",
+   "version": "3.14.2"
+  }
+ },
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 5
+}

01002 - Matematik 1b/Funktioner 1/Funktioner1.typ

@@ -0,0 +1,233 @@
+#import "@local/dtu-template:0.6.0":*
+
+#show: dtu-note.with(
+    course: "01002",
+    author: "Rasmus Rosendahl-Kaa",
+    course-name: "Matematik 1b",
+    title: "Funktioner 1",
+    date: datetime(year: 2026, month: 02, day: 03),
+    semester: "Spring 2026"
+)
+
+#set math.mat(delim: "[")
+#set math.vec(delim: "[")
+
+
+= Funktioner
+For at noget skal være en graf, må én input-værdi kun give én værdi.
+
+= Vektorfunktioner af flere variabler
+#definition(title: "3")[
+Funtioner af typen $underline(f): A -> RR^k$
+har $A="dom"(f) in RR^n$ kaldes vektorfunktioner af _n_ variable.
+
+$A="dom"(f)$ - Definitionsmængden (domæne)\
+$RR^k="codom"(f)$ - Dispositionsmængden (co-domænen)\
+$"im"(f)="Vm"(f)={underline(f)(x)|underline(x) in "dom"(f)}$ - Værdimængden/billedrummet (image/range). Alt hvad funktionen kan ramme\
+
+$f=underline(x) |-> f(underline(x))$
+
+Input: $underline(x) in RR^n$ - Søjlevektor i $RR^n$
+
+Output: $underline(f(x)) in RR^k$ - Søjlevektor i $RR^k$
+]
+
+#example(title: "1.3.1")[
+Lad $bold(A) in M_(k times n)(RR) = RR^(k times n)$
+
+$
+f: RR^n -> RR^k\
+f(underline(x)) = A dot underline(x) (f= underline(x) |-> A underline(x))
+$
+$bold(A)=mat(1,2;2,4)$$
+
+bold(A)(underline(x))&=mat(1,2;2,4)vec(x_1,x_2)\
+&=vec(1x_1+2x_2,2x_1+4x_2)\
+&=vec(1,2)x_1 + vec(2,4)x_2
+$
+Ligning: $f(underline(x))=underline(y) quad, underline(y) in "codom"(f)=RR^k$
+
+Er den injektiv? Nej, $f(vec(-2,1))=f(vec(0,0))=vec(0,0)$
+
+Er den surjektiv? Nej, $"im"(f)="span"_RR (vec(1,2),vec(2,4))="span"_RR (vec(1,2)) = {t vec(1,2)|t in RR} = "col"(bold(A))$
+]
+== Koordinatfunktioner
+#example()[
+For vektorfunktionen: $bold(A)(underline(x))&=mat(1,2;2,4)vec(x_1,x_2)=vec(f_1 (underline(x)), f_2 (underline(x)))$
+
+$f_1 (underline(x)) = 1 x_1 + 2 x_2$
+]
+
+
+$
+underline(f)(underline(x))=vec(f_1 (underline(x)), f_2 (underline(x)), dots.v, f_k (underline(x)))\
+f_i : bold(A) -> RR, i = 1, dots, k\
+bold(A) = "dom"(f)
+$
+
+
+#example(title: "1.2.2")[
+$f: bold(A) -> RR, f(x_1, x_2) = sqrt(16 - x_1^2 - x_2^2)$
+
+hvor $bold(A) = "dom"(f) in RR^2$
+
+Typisk opgave: Hvad er $bold(A), "codom"(f), "im"(f)$
+
+Find størst mulig $bold(A)$
+$
+16 - x_1^2-x_2^2 >= 0\
+4^2 = 16 >= x_1^2 + x_2^2
+$
+
+$"codom"(f)=RR$\
+
+$
+f(0,0)=sqrt(16-0^2-0^2)=4\
+f(4,0)=sqrt(16-4^2-0^2)=0
+$
+Så $"im"(f)=[0,4]$
+]
+
+#example(title: "1.3.2 (ReLu)")[
+$
+"ReLu"&: RR -> RR\
+"ReLu"(x) &= "max"(0,x) = cases(x "," x>=0, 0 "," x<0)
+$
+
+$
+"ReLu": RR^n -> RR^n\
+"ReLu"(underline(x))=vec("ReLu"(x_1),"ReLu"(x_2),dots.v,"ReLu"(x_n))
+$
+]
+
+== Visualiseringer af funktioner (1.4 i bogen)
+$"Graf"(f)={(underline(x), underline(f)(underline(x))) in RR^(n+k) | underline(x) in "dom"(underline(f))}$
+
+Se Eks 1.2.2. Ville kræve $n+k<= 3$
+
+=== Niveaukurver
+Niveaukurver for $c in "codom"(underline(f))$ - c: output
+
+${underline(x) in "dom"(f) | underline(f)(underline(x))= underline(c)}$
+
+
+== Neuralt netværk (Def 1.3.2)
+*1. lag:*
+$underline(x) mapsto sigma_1 (bold(A)_1 underline(x) + underline(b)_1) = underline(z)_1$
+
+$bold(A)_1 in RR^(50 times 784)$
+
+$
+f_1 : RR^784 -> RR^50\
+sigma_1 : RR^50 -> RR^50\
+sigma_1 = "ReLu"
+$
+
+*2. lag:*
+$
+underline(z)_1 mapsto sigma_2 (bold(A)_2 underline(z)_1 + underline(b)_2) = underline(z)_2 in RR^10\
+bold(A)_2 in RR^(10 times 50), underline(b)_2 in RR^(10 times 1)
+$
+
+$
+Phi = f_2 compose f_1, quad R^894 arrow RR^10\
+f compose g(x) = f(g(x))\
+
+Phi (underline(x)) = sigma_2 (bold(A)_2 sigma_1 (bold(A)_1 underline(x) + underline(b)_1) + underline(b)_2)
+$
+
+= Kontinuitet
+#definition(title: "3.2.1")[
+En funktion $f: "dom"(f) arrow RR, quad "dom"(f) in RR$ er kontinuert i $x_0 in A = "dom"(f)$ hvis $x arrow x_0 => f(x) arrow f(x_0)$ (ligning 3.1)
+]
+
+Ligning 3.1 betyder at for ethvert $epsilon > 0$ findes der et $delta > 0$ således at $| x - x_0| < delta => |f(x) - f(x_0)| < epsilon$
+
+$
+forall epsilon > 0 exists delta > 0: |x-x_0| < epsilon => |f(x) - f(x_0)| < delta
+$
+
+Funktionen $f$ er kontinuert hvis den er kontinuert i alle punkter i $"dom"(f)$
+
+
+#example()[
+Lad $a, b in RR$
+
+$
+f(x) = a x + b, quad f: RR arrow RR
+$
+
+Påstanden: $f$ er kontinuert
+
+#solution()[
+$
+|f(x) - f(x_0)| &= | a x + b (a x_0 + b)|\
+&= |a x - a x_0| = |a| |x - x_0|
+$
+
+Lad $epsilon$ være givet. Vi vælger $delta = epsilon/(|a|)$. Så
+
+$
+|x-x_0| < delta = epsilon/(|a|)\
+=> |f(x) - f(x_0)| = |a||x-x_0|\
+< |a| epsilon/(|a|) = epsilon
+$
+]
+]
+
+#example()[
+$
+h: RR arrow RR, quad h(x) = cases(1 quad x=> 0, 0 quad x<0)
+$
+
+$h$ er diskontinuert i $x_0=0$. Lad $epsilon=1/2$.
+
+Der findes intet $delta >0$ :
+$
+|x - x_0| < delta => |f(x)-f(x_0)| < 1/2\
+|x| < delta => |f(x) - 1| < 1/2
+$
+
+Så
+
+$
+f((-delta)/2) = 0\
+f(delta/2)) = 1
+$
+
+$
+|f((-delta)/2)-f(0)|\
+= |0-1| = 1
+$
+Så funktionen er ikke kontinuert.
+]
+
+#example()[
+$
+f: RR^2 arrow RR\
+f(x,y) = cases((x^2y)/(x^4 + y^2) quad (x,y) eq.not (0,0), 0 quad (x,y) = (0,0))
+$
+
+Er $f$ kontinuert for alle $x,y) in RR^2$?
+
+#solution()[
+Opstil y som graf af x, så $y = a x, quad a in RR$. Så fås
+
+$
+f(x, a x) &= (x^2 a x)/(x^4 + a^2x^2)\
+&= (a x)/(x^2 + a^2)\
+&= (a x)/(x^2 + a^2) arrow 0/(0 + a^2) = 0, x arrow 0
+$
+Hvis $y = a x^2, quad a in RR$
+$
+f(x, a x^2) &= (x^2 a x^2)/(x^4 + a^2 x^4)\
+&= a/(1 + a^2)
+$
+
+Så funktionen er ikke kontinuert $(x,y)=(0,0)$
+
+]
+]
+
+
+