Mat1b

01002 - Matematik 1b/Funktioner 1/Funktioner1-opgaver.typ

@@ -298,14 +298,49 @@ Hvilken vektor er længst? Hvilke vektorer er ortogonale på hinanden? Hvilke to
 ]
 
 #solution[
+Længder:
+$
+norm(arrow(v)_1)=sqrt((-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2) = #calc.norm(-10,-10,-10)\
+norm(arrow(v)_2)=sqrt((-10)^2 + (-4)^2 + 14^2) = #calc.norm(-10,-4,14)\
+norm(arrow(v)_3)=sqrt((-10)^2 + (-8)^2 + (-12)^2) = #calc.norm(-10,-8,-12)\
+$
+$v_2$ er længst
 
+Ortogonale ($v_x dot v_y = 0$):
+$
+<arrow(v)_1, arrow(v)_2> &= (-10) dot (-10) + (-10) dot (-4) + (-10) dot 14\
+&= 100 + 40 - 140 = 0\
+<arrow(v)_1, arrow(v)_3> &= (-10) dot (-10) + (-10) dot (-8) + (-10) dot (-12)\
+&= 100 + 80 + 120 = 300\
+<arrow(v)_2, arrow(v)_3> &= (-10) dot (-10) + (-4) dot (-8) + 14 dot (-12)\
+&= 100 + 32 - 168 = -36
+$
+$arrow(v)_1$ og $arrow(v)_2$ er ortogonale.
+
+$arrow(v)_1)$ og $arrow(v)_3)$ må være tættest på hinanden, da $arrow(v)_2$ har et positivt koordinat, mens de andre kun har negative.
 ]
 
 === 2: Partielle afledede af simpel skalar-funktion
 
-Find de partielle afledte $p d v(f, x_1)$ og $p d v(f, x_2)$ for $f(x_1, x_2) = x_1^3 + 3 x_1 x_2 + x_2^3$. Bestem værdien af de partielle afledte i punktet $(x_1, x_2) = (1, 2)$.
+Find de partielle afledte $(partial f)/(partial x_1)$ og $(partial f)/(partial x_2)$ for $f(x_1, x_2) = x_1^3 + 3 x_1 x_2 + x_2^3$. Bestem værdien af de partielle afledte i punktet $(x_1, x_2) = (1, 2)$.
 
 #solution[
+$(partial f)/(partial x_1)$:
+$
+h(x_1)=x_1^3 + 3 x_1 c_1 + c_2, c_1=x_2, c_2 = x_2^3\
+h'(x)=3x_1^2+3c_1 + 0\
+(partial f)/(partial x_1) = 3x_1^2 + 3x_2
+$
+I punkt $(x_1, x_2) = (1, 2))$: $3 dot 1^2 + 3 dot 2 = 9$
+
+$(partial f)/(partial x_2)$:
+$
+g(x_2)=c_3 + 3 dot c_4 dot x_2 + x_2^3, quad c_3 = x_1^3, c_4 = x_1\
+g'(x_2) = 0 + 3 dot c_4 + 3x_2^2\
+(partial f)/(partial x_2) =  3x_1 + 3x_2^2
+$
+I punkt $(x_1, x_2) = (1, 2))$: $3 dot 1 + 3 dot 2^2 = 15$
+
 
 ]
 
@@ -341,7 +376,14 @@ for $i = 1, 2, 3$. Sådanne funktioner kaldes kvadratiske former.
 Gang udtrykket for $q_1(x_1, x_2)$ ud. Først i hånden, så ved hjælp af Python. Gang også udtrykkene for $q_2(x_1, x_2)$ og $q_3(x_1, x_2)$ (i hånden eller Python) ud.
 
 #solution[
+$
+q_1(x_1,x_2) &= mat(x_1,x_2) dot mat(11,-12;-12,4) dot vec(x_1,x_2) + mat(-20,40) dot vec(x_1,x_2) -60\
+&= mat(x_1,x_2) dot vec(11 x_1 -12 x_2,4x_2-12x_1) -20x_1 + 40x_2 - 60\
+&= 11 x_1^2 - 12x_1 x_2 + 4x_2^2 - 12x_1 x_2 - 20 x_1 + 40x_2 -60\
+&= 11x_1^2 + 4x_2^2 - 24x_1x_2 - 20x_1 + 40x_2 - 60
+$
 
+Se Python fil for de andre q
 ]
 
 ==== Spørgsmål b
@@ -349,7 +391,7 @@ Gang udtrykket for $q_1(x_1, x_2)$ ud. Først i hånden, så ved hjælp af Pytho
 Er den kvadratiske matrix $A$ i en kvadratisk form (som fx $bold(x)^T A bold(x)$) entydig givet?
 
 #solution[
-
+Nej da $q_1(arrow(x))$ og $q_2(arrow(x))$ er ens men har forskellige $bold(A)$. Så forskellige $bold(A)$ kan godt give samme $q(arrow(x))$
 ]
 
 ==== Spørgsmål c